Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’);

b) Số đo của góc nhị diện [A, CD, B’];

c) Tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD);

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC;

e*) Góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Lời giải:

Ta có: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên tất cả các mặt bên và hai mặt đáy của hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ đều là hình vuông cạnh a.

a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có (ABCD) // (A’B’C’D’) và AA’ ⊥ (ABCD).

Như vậy: d((ABCD), (A’B’C’D’)) = d(A’, (ABCD)) = AA’ = a.

b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có A’B’ // DC.

Suy ra bốn điểm A’, B’, C, D đồng phẳng.

Khi đó, góc nhị diện [A, CD, B’]  bằng góc nhị diện [A, CD, A’].

Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ DD’ (do ABCD, D’C’CD là hai hình vuông), AD ∩ DD’ = D trong (A’D’DA).

Suy ra CD ⊥ (A’D’DA).

Hơn nữa A’D ⊂ (A’D’DA).

Nên ta có CD ⊥ A’D.

Ta thấy: A’D ⊥ CD, AD ⊥ CD (do ABCD là hình vuông), AD ∩ A’D = D ∈ CD.

Suy ra $\widehat{AD{A}^{\text{'}}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, CD, A’] hay góc nhị diện [A, CD, B’].

Vì ADD’A là hình vuông nên $\widehat{AD{A}^{\text{'}}}=45°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [A, CD, B’] bằng 45°

c) Vì DD’ ⊥ (ABCD) nên góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng BD’ và BD và bằng $\widehat{D^{\text{'}}BD}.$

Do ABCD là hình vuông cạnh a, nên ta có $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$

Ta có: DD’ ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD.

Xét tam giác D’DB vuông tại D có:

$\tan \widehat{D^{\text{'}}BD}=\frac{D{D}^{\text{'}}}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

d) Gọi I là giao điểm của CD’ và C’D.

Do D’C’CD là hình vuông nên I là trung điểm của CD’ và CD’ ⊥ C’D hay IC ⊥ C’D.

Ta có: BC ⊥ (D’C’CD) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương)

Mà IC ⊂ (D’C’CD) nên BC ⊥ IC.

Ta thấy: IC ⊥ C’D, IC ⊥ BC nên IC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng C’D và BC.

Như vậy: $d\left(C^{\text{'}}D,BC\right)=IC=\frac{C{D}^{\text{'}}}{2}.$

Do ABCD, D’C’CD, A’D’DA là các hình vuông cạnh a nên có các đường chéo $C{D}^{\text{'}}=A{D}^{\text{'}}=AC=a\sqrt{2}.$

Suy ra $d\left(C^{\text{'}}D,BC\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

e*) Ta có: D’C’ song song và bằng DC, DC song song và bằng AB (do DC’CD, ABCD là hai hình vuông cạnh a), nên D’C’ song song và bằng AB.

Suy ra ABC’D’ là hình bình hành nên ta có BC’ // AD’.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng góc giữa hai đường thẳng AD’ và CD’ và bằng

Vì $C{D}^{\text{'}}=A{D}^{\text{'}}=AC=a\sqrt{2}$  nên tam giác ACD’ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{A{D}^{\text{'}}C}=60°.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng 60°.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay khác:

• Bài 51 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2a² và có chiều cao bằng 3a thì có thể tích bằng:....

• Bài 52 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 2a² và có chiều cao bằng 3a thì có thể tích bằng:....

• Bài 53 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Một khối chóp cụt đều có chiều cao bằng 6a, diện tích của hai đáy lần lượt bằng 4a² và 9a² thì có thể tích bằng:....

• Bài 54 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính:...

• Bài 56 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều (Hình 48) với chiều cao là 4 cm ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---