Cho hàm số y = tanx trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 27 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = tanx với $x \in (- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) .$

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x \in [- \frac{7 π}{4}; \frac{π}{4}]$ sao cho $\sqrt{3} \tan (x + \frac{π}{4}) + 1 = 0.$

c) Tìm các giá trị của $x \in [- \frac{5 π}{6}; \frac{π}{6}]$ sao cho $\tan (2 x + \frac{π}{6}) \geq - \frac{\sqrt{3}}{3} .$

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số y = tanx trên đoạn $[- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}]$ như sau:

Cho hàm số y = tanx trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm M(x; tanx) với $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ và nối lại, ta được đồ thị của hàm số y = tanx trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Vì hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π, nên để vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}),$ ta vẽ đồ thị của hàm số trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}),$ sau đó lặp lại đồ thị trên khoảng này trên $(- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) .$

Ta có đồ thị của hàm số $y = tan x$ với $x \in (- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ như sau:

Cho hàm số y = tanx trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

b) Ta có $\sqrt{3} tan (x + \frac{π}{4}) + 1 = 0$ khi và chỉ khi $tan (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Đặt $t = x + \frac{π}{4}$ . Vì $- \frac{7 π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}$ nên $- \frac{3 π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , hay $t \in [- \frac{3 π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Hàm số y = tant xác định khi $t \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$ .

Kết hợp với điều kiện $t \in [- \frac{3 π}{2}; \frac{π}{2}]$ , suy ra $t \in (- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .

Đồ thị hàm số y = tant với $t \in (- \frac{3 π}{2}; - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ như sau:

Cho hàm số y = tanx trang 27 SBT Toán 11 Tập 1

Từ đồ thị hàm số trên, ta có:

$tan t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $t = - \frac{7 π}{6}$ hoặc $t = - \frac{π}{6}$ .

Hay $x + \frac{π}{4} = - \frac{7 π}{6}$ hoặc $x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{6}$

Do đó $x = - \frac{17 π}{12}$ hoặc $x = - \frac{5 π}{12}$ .

c) Đặt $t = 2 x + \frac{π}{6}$ . Vì $- \frac{5 π}{6} \leq x \leq \frac{π}{6}$ nên $- \frac{3 π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , hay $t \in [- \frac{3 π}{2}; \frac{π}{2}]$ .