Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 7

Bài 102 trang 98 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi N là giao điểm của AG và BC.

Kẻ BH ⊥ AN (H ∈ AN) và CK ⊥ AN (K ∈ AN).

• Ta có:

$S_{\Delta GAB}=\frac{AG.BH}{2},S_{\Delta GCA}=\frac{AG.CK}{2}$

Mà $S_{\Delta AGB}=S_{\Delta AGC}$ nên $\frac{AG.BH}{2}=\frac{AG.CK}{2}$

Suy ra BH = CK.

•Xét DBHN và DCKN có

$\widehat{BHN}=\widehat{CKN}(=90°)$,

BH = CK (chứng minh trên),

$\widehat{HNB}=\widehat{KNC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆BHN = ∆CKN (g.c.g)

Suy ra BN = CN (hai cạnh tương ứng)

Hay AN là đường trung tuyến của tam giác ABC.

•Chứng minh tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Tam giác ABC có AN, CG là hai đường trung tuyến cuả tam giác

Mà AN và CG cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 99 trang 98 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$, $\widehat{ACB}=\widehat{MPN}$. Cần thêm một điều kiện để tam giác ABC ....

• Bài 100 trang 98 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=110°$. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC ....

• Bài 101 trang 98 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách đều các đỉnh của tam giác đó ....

• Bài 103 trang 98 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A ....

• Bài 104 trang 99 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E ....

• Bài 105 trang 99 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H ....

• Bài 106 trang 99 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---