Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 98 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E ∈ AB), kẻ MF vuông góc với AC (F ∈ AC). Gọi I là giao điểm của AM và EF. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) AM vuông góc với EF;

b) Trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC;

c) Trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Xét ∆BME và ∆CMF có:

$\widehat{BEM}=\widehat{CFM}(=90°)$,

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có ME = MF nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (1)

Lại có AB = AE + EB, AC = AF + FC

Mà AB = AC, BE = CF (chứng minh trên)

Suy ra AE = AF nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó AM vuông góc với EF.

Vậy AM vuông góc với EF.

b) Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC, BM = CM, AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$

Suy ra AM ⊥ BC hay BM ⊥ AD và CM ⊥ AD .

Mà BM và CM là các đường cao tương ứng của các tam giác ABD, ACD.

Suy ra trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

Vậy trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.

c) Ta có AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AM ⊥ EF.

Do đó trực tâm của tam giác AEF và tam giác MEF nằm trên đường thăng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác ABC có AM là đường cao nên trực tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng AM hay chính là đường thẳng AD.

Xét tam giác DBC có DM là đường cao nên trực tâm tam giác DBC nằm trên đường thẳng DM hay chính là đường thẳng AD.

Suy ra trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên đường thẳng AD.

Vậy trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng, đó là đường thẳng AD.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 92 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và H là trực tâm. Trong các phát biểu sau ....

• Bài 93 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và K là trực tâm. Trong các phát biểu sau ....

• Bài 94 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61) ....

• Bài 95 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H đồng thời cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ....

• Bài 96 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD....

• Bài 97 trang 97 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---