Giải SBT Toán 7 trang 92 Tập 2 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 7 trang 92 Tập 2 trong Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác SBT Toán 7 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 trang 92.

Giải SBT Toán 7 trang 92 Tập 2 Cánh diều

Bài 79 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.

b) $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}$ .

c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.

d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.

Lời giải:

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

$\widehat{\text{BNE}}=\widehat{BME}\left(=90°\right)$,

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{NBE}}=\widehat{MBE}$ (hai góc tương ứng)

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

•Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\text{BAE}}=\widehat{CAE}$

Xét DANE và DAPE có:

$\widehat{\text{ANE}}=\widehat{APE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{\text{NAE}}=\widehat{PAE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết)

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

$\widehat{CPE}=\widehat{CME}\left(=90°\right)$,

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{PCE}}=\widehat{MCE}$ (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Do AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó $\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.$

Do đó phát biểu b là sai.

Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.

Bài 80 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$ . Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Số đo góc KAC bằng 30°.

b) Số đo góc BAK bằng 25°.

c) Số đo góc BKC bằng 120°.

d) Số đo góc BKC bằng 115°.

Lời giải:

• Xét ∆ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$ nên $3\widehat{BAC}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{180°}{3}=60°$

Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K

Nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra $\widehat{KAB}=\widehat{KAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{60°}{2}=30°$

Do đó phát biểu a là đúng, phát biểu b là sai.

•Vì BK là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{KBC}=\widehat{KBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Vì CK là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{KCB}=\widehat{KCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}=2.60°=120°$

Do đó $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{120°}{2}=60°$

Xét ∆KBC có $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}+\widehat{CKB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat{CKB}=180°-\left(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}\right)=180°-60°=120°$ .

Do đó phát biểu c là đúng, phát biểu d là sai.

Vậy phát biểu sai là b và d.

Bài 81 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

Lời giải:

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ .

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ .

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}$ .

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$ .

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$ (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AKE}=\widehat{AKD}$ (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$ nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

Bài 82 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60°$ , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Lời giải:

a) Tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$ .

Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$ .

•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$ .

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$ (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

•Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$ .

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$ (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

$\widehat{ACE}=\widehat{AKE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

$\widehat{EKB}=\widehat{E\text{D}B}\left(=90°\right)$,

BE là cạnh chung,

$\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 7 trang 93 Tập 2

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• SBT Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• SBT Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• SBT Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• SBT Toán 7 Bài tập cuối chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---