Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn - Cánh diều

Bài 25 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với R ≠ r. Đường nối OO’ lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’) tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) $\widehat{DME}=90°;$

b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’);

c) MD.MB = ME.MC.

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên a ⊥ OD.

Đường thẳng a cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại E nên a ⊥ O’E.

Suy ra OD // O’E nên $\widehat{BOD}=\widehat{A{O}^{\text{'}}E}$ (hai góc đồng vị). (1)

Ta có ∆OBD cân tại O (do OB = OD = R) nên $\widehat{OBD}=\widehat{ODB}$

Mà $\widehat{OBD}+\widehat{ODB}+\widehat{BOD}=180°$ nên $\widehat{OBD}=\widehat{ODB}=\frac{180°-\widehat{BOD}}{2}.$ (2)

Tương tự với ∆O’AE cân tại O’ (do O’A = O’E = r) ta có

$\widehat{O^{\text{'}}AE}=\widehat{O^{\text{'}}EA}=\frac{180°-\widehat{A{O}^{\text{'}}E}}{2}.\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{OBD}=\widehat{O^{\text{'}}EA}.\left(4\right)$

Xét ∆O’CE cân tại O’ (do O’C = O’E = r) nên $\widehat{O^{\text{'}}CE}=\widehat{O^{\text{'}}EC}\left(5\right)$

Mà $\widehat{O^{\text{'}}EA}+\widehat{O^{\text{'}}EC}=\widehat{AEC}=90°\left(6\right)$

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\widehat{OBD}+\widehat{O^{\text{'}}CE}=90°$ hay $\widehat{CBM}+\widehat{BCM}=90°$

Ta lại có $\widehat{CBM}+\widehat{BMC}+\widehat{BCM}=180°$ (tổng ba góc của tam giác BCM)

Do đó $\widehat{BMC}=180°-\left(\widehat{CBM}+\widehat{BCM}\right)=180°-90°=90°$ hay $\widehat{DME}=90°.$

b) Xét ∆ABD có OA = OB = OD = R suy ra $DO=\frac{1}{2}AB$ nên ∆ABD vuông tại D, hay AD ⊥ BM.

Tương tự, ta cũng chứng minh được DE ⊥ CM.

Xét tứ giác ADME có $\widehat{DME}=\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=90°$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AM và DE bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên $IA=IM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}DE=ID=IE.$

Xét ∆OAI và ∆ODI có: OA = OD = R; IA = ID; OI là cạnh chung

Do đó ∆OAI = ∆ODI (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OAI}=\widehat{ODI}=90°$ hay MA vuông góc với BC tại điểm A nằm trên cả hai đường tròn (O) và (O’).

Vậy MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có $\widehat{MED}+\widehat{AED}=\widehat{AEM}=90°$ và $\widehat{O^{\text{'}}EA}+\widehat{AED}=\widehat{O^{\text{'}}ED}=90°$ nên $\widehat{O^{\text{'}}EA}=\widehat{MED}$

Lại có $\widehat{OBD}=\widehat{O^{\text{'}}EA}$ (chứng minh ở câu a) nên $\widehat{OBD}=\widehat{MED}$ hay $\widehat{MBC}=\widehat{MED}.$

Xét ∆BCM và ∆EDM có: $\widehat{BMC}$ là góc chung và $\widehat{MBC}=\widehat{MED}.$

Do ∆BCM ᔕ ∆EDM (g.g) nên $\frac{MB}{ME}=\frac{MC}{MD}.$

Suy ra MD . MB = ME . MC.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn hay khác:

• Bài 19 trang 108 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 15 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 25 cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). ....

• Bài 20 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). ....

• Bài 21 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\widehat{CAB}=30°.$ Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. ....

• Bài 22 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O). ....

• Bài 23 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Hình 23 minh hoạ thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. ....

• Bài 24 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, ....

• Bài 26 trang 109 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp

• SBT Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 9 Bài 1: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng, biểu đồ

• SBT Toán 9 Bài 2: Tần số. Tần số tương đối

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---