Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức - Cánh diều

Bài 7 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca);

b) $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Lời giải:

a) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b > c, b + c > a, c + a > b.

Ta có a < b + c nên a² < a(b + c).

Tương tự, ta có: b² < b(c + a), c² < c(a + b).

Do đó a² + b² + c² < a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)

Hay a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

b) Theo kết quả Ví dụ 2c, trang 32, SBT Toán lớp 9, Tập một, ta có:

$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge \frac{4}{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}$

Hay $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}.$

Tương tự, ta chứng minh được

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge \frac{2}{a}.$

Do đó $\frac{2}{a+b-c}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\ge \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}.$

Vậy $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức hay khác:

• Bài 1 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho các số a, b, c, d đều khác 0 thoả mãn a > b và c > d. Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào đúng?....

• Bài 2 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a < b. So sánh: a) M = ‒24(a + 23) và N = ‒24(b + 23);....

• Bài 3 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho x, y là các số thực tuỳ ý thoả mãn x > y. Bất đẳng thức x² > y² là đúng hay sai? Vì sao?....

• Bài 4 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho a, b, c, d là các số không âm thoả mãn a > c + d, b > c + d. Chứng minh:....

• Bài 5 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh: a) x² + y² ≥ –2xy;....

• Bài 6 trang 35 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh: a) $\sqrt{5}-\sqrt{7}<\sqrt{6}-2;$....

• Bài 8 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Theo Tổng cục Môi trường, chỉ số chất lượng không khí được tính theo thang điểm (khoảng giá trị AQI) tương ứng với biểu tượng ....

• Bài 9 trang 36 SBT Toán 9 Tập 1: Một cửa hàng nhập về 60 chiếc điện thoại từ nước ngoài với giá nhập vào là 20 triệu đồng/chiếc....

• Bài 10 trang 37 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn....

• Bài 11 trang 37 SBT Toán 9 Tập 1: Bác Long dùng 80 m lưới thép gai để rào một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật. Bác Long đã tận dụng bờ giậu có sẵn....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 2

• SBT Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

• SBT Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

• SBT Toán 9 Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---