Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác - Cánh diều

Bài 7 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=60°,$ $\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=90°,$ $\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=120°$ (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

Lời giải:

a) ⦁ Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB.

Do A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB = R.

Lại có $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=60°$ nên $\widehat{AOB}=60°$ (góc ở tâm chắn cung AB của đường tròn (O)).

Do đó, tam giác OAB là tam giác đều với cạnh AB = OA = OB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là $\frac{R\sqrt{3}}{3}.$

⦁ Do $\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}=90°$ nên $\widehat{BOC}=90°$ (góc ở tâm chắn cung BC của đường tròn (O)).

Do đó tam giác OBC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = OB² + OC²

Suy ra $BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}$ nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆OBC lần lượt là trung điểm E của BC và $\frac{R\sqrt{2}}{2}.$

⦁ Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và $\frac{R\sqrt{2}}{2}.$

⦁ Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K.

Do $\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=120°$ nên $\widehat{DOC}=120°$ (góc nội tiếp chắn cung DC của đường tròn (O)).

Trong tam giác ODC cân tại O có OH là trung tuyến nên đồng thời là phân giác của $\widehat{DOC}.$

Suy ra $\widehat{DOH}=\widehat{COH}=\frac{1}{2}\widehat{DOC}=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°.$

Lại có OD = OK = OC nên ∆DOK, ∆COK là tam giác đều.

Suy ra KD = KO = KC = R.

Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.

b) Xét ∆OHC vuông tại H có $HC=OC\cdot \sin \widehat{COH}=R\cdot \sin 60°=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra $DC=2HC=2\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}.$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{CB}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°$ (góc nội tiếp chắn cung BC).

Ta có $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}+\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}+\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}+\text{sđ}\stackrel{⏜}{DA}=360°$

Suy ra $\text{sđ}\stackrel{⏜}{DA}=360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}-\text{sđ}\stackrel{⏜}{BC}-\text{sđ}\stackrel{⏜}{CD}=360°-60°-90°-120°=90°.$

Khi đó, $\widehat{DBA}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{DA}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°$ (góc nội tiếp chắn cung DA).

Do đó $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}=45°.$

Xét ∆ABI có: $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}+\widehat{AIB}=180°.$

Suy ra $\widehat{AIB}=180°-\widehat{IAB}-\widehat{IBA}=180°-45°-45°=90°.$

Hay AC vuông góc với BD.

Do đó ∆IAB vuông tại I, ∆IAD vuông tại I, ∆IBC vuông tại I, ∆IDC vuông tại I.

Mặt khác, AB = R, $BC=AD=R\sqrt{2}$ (chứng minh ở câu a) và $DC=R\sqrt{3}$ do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là: $\frac{R}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2},\frac{R\sqrt{3}}{2}.$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác hay khác:

• Bài 1 trang 84 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau ....

• Bài 2 trang 84 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp ....

• Bài 3 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp ....

• Bài 4 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác MNP trong các trường hợp sau ....

• Bài 5 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K ....

• Bài 6 trang 85 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC $\left(\widehat{B}>\widehat{C}\right),$ phân giác AM. Gọi O, O₁, O₂ lần lượt là tâm đường ....

• Bài 8 trang 86 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r ....

• Bài 9 trang 86 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R ....

• Bài 10 trang 86 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B ....

• Bài 11* trang 86 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tùy ý ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8

• SBT Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

• SBT Toán 9 Bài 2: Phép quay

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Cánh diều
• Giải SBT Toán 9 Cánh diều
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---