Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Kết nối tri thức

Bài 5.19 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);

b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3 cm và $\widehat{MAB}$ = 60°.

Lời giải:

a) Gọi H là giao điểm của MO và AB.

+ Xét hai tam giác vuông AOH và BOH có:

Chung cạnh OH; OA = OB (bán kính đường tròn (O))

Do đó ∆AOH = ∆BOH (c.g.c), suy ra $\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$, hay $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$.

+ Xét ∆AOM và ∆BOM có:

Chung cạnh OM; $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$; OA = OB

Do đó ∆AOM = ∆BOM (c.g.c), suy ra $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90°$ hay OB ⊥ MB.

Ta có: OB ⊥ MB và OB là bán kính của đường tròn (O)

Do đó MB là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)

b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và cắt nhau tại M nên MA = MB, suy ra tam giác MAB cân tại M. Mà $\widehat{MAB}=60°$ nên tam giác MAB là tam giác đều.

Xét tứ giác AOBM ta có: $\widehat{AOB}+\widehat{OBM}+\widehat{BMA}+\widehat{MAO}=360°$

Suy ra $AOB=360°-\widehat{OBM}-\widehat{BMA}-\widehat{MAO}$

$=360°-90°-60°-90°=120°$

Do đó số đo cung nhỏ AB là sđ $\stackrel{⏜}{AB}=120°$.

Diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ AB là:

$S_q=\frac{120}{360}\pi R^2=\frac{120}{360}\pi {.3}^2=3\pi$ (cm²)

Ta có $\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.120°=60°$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác AOM vuông tại A, ta có:

$AM=AO.\tan \widehat{AOM}=3.\tan 60°=3\sqrt{3}$ (cm)

Theo câu a, ∆AOM = ∆BOM nên ta có:

$S_{AOBM}=2S_{AOM}=OA.AM=3.3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ (cm²)

Diện tích phần tam giác AMB nằm bên ngoài đường tròn (O) là:

$S_{AOBM}-S_q=9\sqrt{3}-3\pi$ (cm²)

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác AOM ta được:

$OM=\sqrt{M{A}^2+O{A}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2+3^2}=6$ (cm).

Vậy OM = 6 cm và diện tích phần tam giác AMB nằm bên ngoài đường tròn (O) là $9\sqrt{3}-3\pi$cm².

Lời giải SBT Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay khác:

• Bài 5.17 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm P. Giả sử $P\in \left(O\right)$. Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P. ...

• Bài 5.18 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a ...

• Bài 5.20 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm ...

• Bài 5.21 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

• SBT Toán 9 Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---