Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Kết nối tri thức

Bài 5.21 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;

b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);

C) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);

d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết HB = 2 cm và HC = 4,5 cm.

Lời giải:

a) Ta thấy AH là bán kính của đường tròn (A) bán kính AH và AH ⊥ BC.

Do đó BC là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại H. (đpcm)

b) Do M đối xứng với H qua B nên AM = AH, BM = BH.

Xét hai tam giác MAB và HAB có:

Chung cạnh AB; AM = AH; BM = BH.

Do đó ∆MAB = ∆HAB (c.c.c), suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AHB}=90°$ hay AM ⊥ MB.

Từ ∆MAB = ∆HAB (c.c.c), suy ra AM = AH.

Do đó M nằm trên đường tròn (A) bán kính AH.

Ta có: AM là bán kính của đường tròn (A) bán kính AH và AM ⊥ MB

Do đó MB là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại M. (đpcm)

Tương tự ta chứng minh được CN là tiếp tuyến của đường tròn (A) bán kính AH tại N.

c) Theo câu b, ∆MAB = ∆HAB nên $\widehat{MAB}=\widehat{HAB}$

Tương tự, ∆NAC = ∆HAC nên $\widehat{NAC}=\widehat{HAC}$.

Mà $\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90°$ do tam giác ABC vuông tại A nên:

$\widehat{MAB}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}+\widehat{NAC}=2\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)=2.90°=180°$

Suy ra M, A, N thẳng hàng.

Mà M và N nằm trên (A) nên MN là đường kính của (A). (đpcm)

d) Theo câu b, BM ⊥ MN và CN ⊥ MN nên BM // CN, suy ra tứ giác BMNC là hình thang vuông.

M đối xứng với H qua AB nên BM = BH.

N đối xứng với H qua AC nên CN = CH.

Ta có BM + CN = BH + CH = 2 + 4,5 = 6,5 (cm)

Xét hai tam giác HBA và ABC ta có:

Chung góc B; $\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90°$

Suy ra ∆HBA ᔕ ∆ABC (g.g), do đó $\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$

Xét hai tam giác HBA và HBC có:

$\widehat{BHA}=\widehat{CHA}=90°$

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$

Suy ra ∆HBA ᔕ ∆HBC (g.g), do đó ta có:

$\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$ hay $AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{\mathrm{4,5.2}}=3$(cm)

MN là đường kính của (A) nên MN = 2AH = 2 . 3 = 6 (cm)

Diện tích tứ giác BMNC là:

$\frac{1}{2}MN\left(BM+CN\right)=\frac{1}{2}\mathrm{.6,5.6}=\mathrm{19,5}$ (cm²)

Vậy diện tích tứ giác BMNC là 19,5 cm².

Lời giải SBT Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay khác:

• Bài 5.17 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm P. Giả sử $P\in \left(O\right)$. Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P. ...

• Bài 5.18 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a ...

• Bài 5.19 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). ...

• Bài 5.20 trang 65 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 9 Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

• SBT Toán 9 Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---