Công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian (siêu hay)

Công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian (siêu hay)

1. Công thức

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

✔ Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm).

✔ Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành).

✔ Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$ (quy tắc hình hộp).

• Tính chất

– Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

– Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

– Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ (quy tắc hiệu).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính các tổng sau:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}$;

b) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên AA'C'C là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$.

b) Ta có AA'C'C là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{CC\text{'}}$.

Do đó, $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{BC\text{'}}$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Theo quy tắc hiệu, ta có: $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{AD}$.

Do ABCD là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, suy ra $\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{BC}$.

Theo quy tắc hiệu, ta có: $\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CS}$.

Vậy $\overrightarrow{BS}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CS}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA\text{'}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C\text{'}D}=\overrightarrow{0}$.

Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{B\text{'}C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}$;

b) $\overrightarrow{BC\text{'}}=\overrightarrow{AA\text{'}}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}D\text{'}}=\overrightarrow{CC\text{'}}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD\text{'}}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$;

c) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CC\text{'}}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A\text{'}C}$.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$;

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$.

Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O.

a) Tìm vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA\text{'}}$.

b) Cho biết mối liên hệ giữa vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{AO}$.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian

• Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Công thức tọa độ của một điểm

• Công thức tọa độ của một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ

---