Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu - Toán lớp 12
Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.
Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu - Toán lớp 12
1. Công thức
Cho mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
Ta có thể đưa phương trình đó về dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – R2.
Vậy mỗi phương trình mặt cầu đều có dạng x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Ngược lại, xét phương trình có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.
Ta có: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
⇔ x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 + z2 – 2cz + c2 = a2 + b2 + c2 – d
⇔ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + b2 + c2 – d
Do đó, phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 xác định là một mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0.
Ngoài ra, nếu a2 + b2 + c2 – d > 0 thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu? Tại sao? Nếu là phương trình mặt cầu, hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
a) x2 + y2 + z2 – 6x + 2y + 4z + 2 = 0.
b) 2x2 + y2 – z2 – 2x + 4y – 8z – 3 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: x2 + y2 + z2 – 6x + 2y + 4z + 2 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 + z2 + 4z + 4 + 2 – 9 – 1 – 4 = 0.
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 – 12 = 0.
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 12.
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(3; −1; −2) và bán kính
R = .
b) Phương trình 2x2 + y2 – z2 – 2x + 4y – 8z – 3 = 0 không là phương trình của một mặt cầu vì hệ số x2, y2, z2 khác nhau.
Ví dụ 2. Cho phương trình: x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 5 = 0.
Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Hướng dẫn giải
Ta có: x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 10z + 5 = 0
⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 + z2 – 10z + 25 + 5 – 4 – 1 – 25 = 0
⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 5)2 = 25.
Vậy phương trình trên là một phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính
R = = 5.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) x2 + y2 + z2 – 2x – 8y – 12z + 36 = 0.
b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 8x + 8y + 12z + 19 = 0.
c) x2 + 2y2 + z2 – 2x + 4y – 5z – 2 = 0.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình dưới đây là phương trình mặt cầu?
a) x2 + y2 + z2 – 2x – 5y + 30 = 0
b) x2 + y2 + z2 + 5 = 0.
c) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 2z = 0.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:
a) Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ I(1; −2; 3). |
Đ |
S |
b) Bán kính R = 4. |
Đ |
S |
c) Điểm M(0; 2; −3) ∈ (S). |
Đ |
S |
d) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + ( x – 3)2 = 16. |
Đ |
S |
Bài 4. Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình dưới đây:
a) x2 + y2 + z2 + 4x – 5y + 6z + = 0.
b) x2 + y2 + z2 – 4x + 5y – 2z − = 0.
c) x2 + y2 + z2 + 2x – 2y + 8z – 18 = 0.
Bài 5. Tìm m để phương trình dưới đây là phương trình mặt cầu:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 2z + m = 0.
b) x2 + y2 + z2 – 4x + 5y – 2z − m = 0.
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Đề thi lớp 1 (các môn học)
- Đề thi lớp 2 (các môn học)
- Đề thi lớp 3 (các môn học)
- Đề thi lớp 4 (các môn học)
- Đề thi lớp 5 (các môn học)
- Đề thi lớp 6 (các môn học)
- Đề thi lớp 7 (các môn học)
- Đề thi lớp 8 (các môn học)
- Đề thi lớp 9 (các môn học)
- Đề thi lớp 10 (các môn học)
- Đề thi lớp 11 (các môn học)
- Đề thi lớp 12 (các môn học)
- Giáo án lớp 1 (các môn học)
- Giáo án lớp 2 (các môn học)
- Giáo án lớp 3 (các môn học)
- Giáo án lớp 4 (các môn học)
- Giáo án lớp 5 (các môn học)
- Giáo án lớp 6 (các môn học)
- Giáo án lớp 7 (các môn học)
- Giáo án lớp 8 (các môn học)
- Giáo án lớp 9 (các môn học)
- Giáo án lớp 10 (các môn học)
- Giáo án lớp 11 (các môn học)
- Giáo án lớp 12 (các môn học)