Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu (siêu hay)

Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu (siêu hay)

1. Công thức

Cho mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ta có thể đưa phương trình đó về dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – R².

Vậy mỗi phương trình mặt cầu đều có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Ngược lại, xét phương trình có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Ta có: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0                                                                                                

      ⇔ x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² + z² – 2cz + c² = a² + b² + c² – d

      ⇔ (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = a² + b² + c² – d

Do đó, phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 xác định là một mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0.

Ngoài ra, nếu a² + b² + c² – d > 0 thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2+c^2–d}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu? Tại sao? Nếu là phương trình mặt cầu, hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

a) x² + y² + z² – 6x + 2y + 4z + 2 = 0.

b) 2x² + y² – z² – 2x + 4y – 8z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x² + y² + z² – 6x + 2y + 4z + 2 = 0

          ⇔ x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 + z² + 4z + 4 + 2 – 9 – 1 – 4 = 0.

          ⇔ (x – 3)² + (y + 1)² + (z + 2)² – 12 = 0.

          ⇔ (x – 3)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 12.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(3; −1; −2) và bán kính

R = $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

b) Phương trình 2x² + y² – z² – 2x + 4y – 8z – 3 = 0 không là phương trình của một mặt cầu vì hệ số x², y², z² khác nhau.

Ví dụ 2. Cho phương trình: x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 5 = 0.

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 5 = 0

       ⇔ x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 + z² – 10z + 25 + 5 – 4 – 1 – 25 = 0

       ⇔ (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 5)² = 25.

Vậy phương trình trên là một phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính

R = $\sqrt{25}$ = 5.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2x – 8y – 12z + 36 = 0.

b) 2x² + 2y² + 2z² – 8x + 8y + 12z + 19 = 0.

c) x² + 2y² + z² – 2x + 4y – 5z – 2 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình dưới đây là phương trình mặt cầu?

a) x² + y² + z² – 2x – 5y + 30 = 0

b) x² + y² + z² + 5 = 0.

c) x² + y² + z² – 4x + 2y + 2z = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình: x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ I(1; −2; 3).	Đ	S
b) Bán kính R = 4.	Đ	S
c) Điểm M(0; 2; −3) ∈ (S).	Đ	S
d) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)2 + (y + 2)2 + ( x – 3)2 = 16.	Đ	S

Bài 4. Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình dưới đây:

a) x² + y² + z² + 4x – 5y + 6z + $\frac{25}{4}$ = 0.

b) x² + y² + z² – 4x + 5y – 2z − $\frac{3}{4}$ = 0.

c) x² + y² + z² + 2x – 2y + 8z – 18 = 0.

Bài 5. Tìm m để phương trình dưới đây là phương trình mặt cầu:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y + 2z + m = 0.

b) x² + y² + z² – 4x + 5y – 2z − m = 0.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

---