Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán lớp 12

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán lớp 12

1. Công thức

* Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến B (tăng) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

 Nhận xét:

+ Hàm số f(x) đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:

• Nếu f'(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b) ⇒ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).

• Nếu f'(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b) ⇒ hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).

• Nếu f'(x) = 0, ∀ x ∈ (a; b) ⇒ hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b).

• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) ⇒ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b).

• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) ⇒ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b).

• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên K.

• Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

• Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Phương pháp giải chung

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x):

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, …) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên (hoặc bảng xét dấu đạo hàm) của hàm số.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2;

b) y = x⁴ – 2x².

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 6x; 

y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 4x³ – 4x;

          y' = 0 khi x = – 1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng xét dấu của đạo hàm y' như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (–1; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên các khoảng (–∞; – 1) và (0; 1).

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) y = x + $\frac{4}{x}$;         

b) y = $\frac{x^2-x+9}{x-1}$.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là ℝ \ {0}.

Ta có: y' = x + $\frac{4}{x}$;

          y' = 0 khi x = – 2 hoặc x = 2.

Bảng xét dấu của đạo hàm y' như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –2) và (2; +∞), hàm số nghịch biến trên các khoảng (–2; 0) và (0; 2).

b) Tập xác định của hàm số là ℝ \ {1}.

Ta có: y' = $\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-x+9\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-8}{{\left(x-1\right)}^2}$;

          y' = 0 khi x = –2 hoặc x = 4.

Bảng xét dấu của đạo hàm y' như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –2) và (4; +∞), hàm số nghịch biến trên các khoảng (–2; 1) và (1; 4).

Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số y = $\frac{x-2}{x+1}$.

Lời giải

Tập xác định của hàm số là ℝ \ {–1}.

Ta có y' = $\frac{\left(x+1\right)-\left(x-2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$ > 0, với mọi x ≠ –1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) y = –x² + 2x + 5;                             

b) y = $\frac{1}{3}$x³ + 3x² - 7x + 2.

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = $\frac{1+x}{2-x}$;                                        

b) y = $\frac{x^2+3x}{1-x}$.

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) y = –x⁴ + 2x² – 3;                                       

b) y= $\sqrt{x^2+x-6}$.

Bài 4. Chứng minh rằng hàm số y = sin x – x nghịch biến trên nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Bài 5. Tìm m để hàm số y = $\frac{1}{3}$x³ - mx² + (2m - 3)x - 2 đồng biến trên ℝ.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

---