Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hay, nhanh nhất - Toán lớp 12
Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hay, nhanh nhất
Với loạt bài Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Bài viết Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12.
1. Lý thuyết
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f(x1) < f(x2) .
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀x1,x2 ∈ K, x1 < x2 => f(x1) > f(x2) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét:
+ Hàm số f(x) đồng biến trên K ∀x1,x2 ∈ K, x1 ≠ x2.
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:
• Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) => f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a,b)
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) => f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a,b)
• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.
Phương pháp giải chung
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y' = f'(x).
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.
Chú ý:
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.
• Giả sử y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d => f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
+ Hàm số đồng biến trên R
+ Hàm số nghịch biến trên
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:
Bước 1: Tính y' = f'(x,m) = ax2 + bx + c
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x1,x2) ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1
Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) y = x3 - 3x2 + 2
b) y = x4 - 2x2
Lời giải
a) TXĐ: D ∈ R
Ta có:
Bảng biến thiên (xét dấu y'):
x |
−∞ |
0 |
2 |
+∞ |
|||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, 0) và (2, +∞ ) , nghịch biến trên khoảng (0; 2).
b) TXĐ: D ∈ R
Ta có:
Bảng biến thiên (xét dấu y'):
x |
-∞ | -1 |
0 |
1 |
+∞ |
||||
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1,0) và (1, +∞) , nghịch biến trên khoảng (-∞, -1) và (0; 1).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a)
b)
Lời giải
a) TXĐ: Ta có:
Bảng biến thiên (xét dấu y'):
x |
-∞ |
-2 |
0 |
2 |
+∞ |
|||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
+ |
|||||
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, -2) và (2, +∞) , hàm số nghịch biến trên khoảng (– 2; 0) và (0; 2).
b) TXĐ:
Ta có:
Bảng biến thiên (xét dấu y'):
x |
-∞ |
-2 |
1 |
4 |
+∞ |
|||||
+ |
0 |
- |
- |
0 |
+ |
|||||
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, -2) và (4, +∞), hàm số nghịch biến trên các khoảng (– 2; 1) và (1; 4).
4. Luyện tập
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a) y = -x2 + 2x + 5 b) y = x3 + 3x2 - 7x + 2
Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = b) y =
Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = -x4 + 2x2 - 3 b) y =
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số sinx-x nghịch biến trên nửa khoảng [0, )
Bài 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12