Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng - Toán lớp 12

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng - Toán lớp 12

Quảng cáo

1. Công thức

Khoảng cách từ điểm M_o(x_o; y_o; z_o) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

(A² + B² + C² > 0) được tính theo công thức:

d(M_o, (P)) = $\frac{| A x_{o} + B y_{o} + C z_{o} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ A(3; 0; −1) đến các mặt phẳng sau:

a) (P): x + 2y – z + 2 = 0;

b) (Q): 2x – y + 3z – 2 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có d(A, (P)) = $\frac{| 1.3 + 2.0 - 1. (- 1) + 2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ = $\sqrt{6}$ .

b) Ta có d(A, (Q)) = $\frac{| 2.3 - 1.0 + 3. (- 1) - 2 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{14}}{14}$ .

Ví dụ 2. Cho điểm I(2; 1; −3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + m = 0. Tìm m để khoảng cách từ I đến (P) bằng 7.

Hướng dẫn giải

Ta có: d(I, (P)) = $\frac{| 2.2 - 1.1 + 2. (- 3) + m |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{| m - 3 |}{3}$ = 7.

⇒ |m – 3| = 21.

TH1: m – 3 = 21 ⇒ m = 21 + 3 hay m = 24.

TH2: m – 3 = −21 ⇒ m = −21 + 3 hay m = −18.

Vậy m ∈ {−18; 24}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 3 = 0 và điểm A(2; 4; −1). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

Bài 2. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0 và (Q): 2x – 4y + 6z + 3 = 0.

a) Chứng minh rằng (P) //(Q).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bài 3.

Tính chiều cao của tứ diện ABCD biết A(5; 0; 1), B(1; 1; 1), C(2; 3; 4), D(5; 2; 3).

Bài 4.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x – y + 2z – m = 0 và điểm A(2; 3; 2). Tìm m để khoảng cách từ A đến (Q) bằng 4.

Bài 5.

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): x – 2 = 0 và (Q): x – 9 = 0.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official