Công thức viết phương trình mặt cầu (siêu hay)

Công thức viết phương trình mặt cầu Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức viết phương trình mặt cầu (siêu hay)

1. Công thức

Phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Chú ý:

+ Mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A thì có bán kính R = IA.

+ Mặt cầu có đường kính AB thì có tâm là trung điểm I của AB và bán kính R = IA = IB.

+ Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) thì bán kính R = d(I, (P)).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; 1) bán kính R = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình mặt cầu:

(x – 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 3² hay (x – 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9.

Ví dụ 2. Cho phương trình mặt cầu: (x + 2)² + (y – 5)² + (z – 4)² = 36. Xác định tâm I và bán kính của phương trình mặt cầu.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình mặt cầu, ta có tâm I(−2; 5; 4) và bán kính R = $\sqrt{36}$ = 6.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; −3) và bán kính R = 3.

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; −2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1) và B(−2; 0; 1).

Bài 2. Phương trình mặt cầu (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) có tâm I thuộc trục Ox.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) I(10; 0; 0).	Đ	S
b) IA = IB = $2\sqrt{5}$.	Đ	S
c) R = $5\sqrt{2}$.	Đ	S
d) Phương trình mặt cầu (S) có phương trình: (x + 10)2 + y2 + z2 = 50.	Đ	S

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I thuộc trục Ox.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(−1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng d: $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-3}$.

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; −1) và cắt đường thẳng d: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với AB = 16.

Bài 5.Cho điểm I(1; −2; 3). Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) Hình chiếu của I lên Oy có tọa độ M(0; −2; 0).	Đ	S
b) R = IM = $\sqrt{10}$.	Đ	S
c) Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10.	Đ	S
d) Đường kính của mặt cầu tâm I là 20.	Đ	S

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu

---