Công thức viết phương trình đường thẳng - Toán lớp 12

Voucher giảm giá Shopee dịp 09-09

Công thức viết phương trình đường thẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức viết phương trình đường thẳng - Toán lớp 12

Quảng cáo

1. Công thức

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ . Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

• Nhận xét:

Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì $k \vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{o} + a t \\ y = y_{o} + b t \\ z = z_{o} + c t \end{cases}$ , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua M_o(x_o; y_o; z_o) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (a; b; c).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu abc ≠ 0 thì hệ phương trình $\frac{x - x_{o}}{a} = \frac{y - y_{o}}{b} = \frac{z - z_{o}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M_o(x_o; y_o; z_o) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (a; b; c).

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x_o; y_o; z_o), B(x₁; y₁; z₁) có:

Phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{o} + (x_{1} - x_{o}) t \\ y = y_{o} + (y_{1} - y_{o}) t \\ z = z_{o} + (z_{1} - z_{o}) t \end{cases}$ (t là tham số).

Phương trình chính tắc: $\frac{x - x_{o}}{x_{1} - x_{o}} = \frac{y - y_{o}}{y_{1} - y_{o}} = \frac{z - z_{o}}{z_{1} - z_{o}}$ (với x_o ≠ x₁, y_o ≠ y₁, z_o ≠ z₁).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và nhận $\vec{a}$ = (1; −2; 2) làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{2}$ .

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ (t là tham số).

Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng d, biết d đi qua A(1; −2; −3) và B(3; 2; 2).

Hướng dẫn giải

Ta có: $\vec{A B}$ = (2; 4; 5).

Đường thẳng d đi qua A, B nên nhận $\vec{A B}$ là vectơ chỉ phương có phương trình tham số như sau: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases}$ (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z + 3}{5}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1.

Viết phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua A(2; 1; 1) và nhận vectơ $\vec{u}$ = (2; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Bài 2. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 3; 1) và B(3; −3; 2).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A(2; 1; 1) và song song với đường thẳng ∆: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 3}{5}$ .

Bài 4. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua I(2; 4; −1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0.

Bài 5. Viết các phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB biết A(2; 3; 1) và B(1; 2; 2).

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official