Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian - Toán lớp 12

Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian - Toán lớp 12

1. Công thức

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a}$ ≠ 0. Tích của số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

– Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ khi k < 0;

– Có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Quy ước: 0$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$, k$\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$.

• Tính chất: Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và hai số thực h, k ta có:

+ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ ≠ $\overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.                   

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}$.

Do đó, $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$.

Vì M là trung điểm đoạn thẳng AD nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$.

Vì N là trung điểm của đoạn thẳng BC nên $\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$.

Do đó, $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}$

                                    = $3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$.

Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác SAB có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB nên EF là đường trung bình của tam giác.

⇒ EF = $\frac{1}{2}$AB và EF // AB.

⇒ $\overrightarrow{EF}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và $\left|\overrightarrow{EF}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|$ nên $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Mà theo giả thiết, ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vậy $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A\text{'}C}=3\overrightarrow{A\text{'}G}$.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho SE = $\frac{1}{3}$SA, SF = $\frac{1}{3}$SB.

Chứng minh rằng: $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HK}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm M thuộc cạnh SA và SM = $\frac{2}{3}$SA.

a) Viết hệ thức liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AS}$.

b) Tìm điểm N sao cho $\overrightarrow{MN}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{BA}$.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) Nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{SD}=6\overrightarrow{SO}$ thì ABCD là hình thang.	Đ	S
b) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}$.	Đ	S
c) Nếu $\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SC}$ thì ABCD là hình thang.	Đ	S
d) Nếu ABCD là hình thang thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+2\overrightarrow{SD}=6\overrightarrow{SO}$.	Đ	S

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Công thức tọa độ của một điểm

• Công thức tọa độ của một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ

• Công thức tọa độ trung điểm

---