Trọn bộ Công thức Toán lớp 12 Học kì 1, Học kì 2 quan trọng

Trọn bộ Công thức Toán lớp 12 Học kì 1, Học kì 2 quan trọng

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 12, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán lớp 12 Học kì 1, Học kì 2 Giải tích và Hình học đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 12.

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

• Công thức lũy thừa

• Công thức logarit

• Công thức tính lãi suất ngân hàng

• Công thức giải phương trình mũ

• Công thức giải bất phương trình mũ

• Công thức giải phương trình lôgarit

• Công thức giải bất phương trình lôgarit

• Công thức tính trả góp vay vốn

Chương 1: Khối đa diện

• Công thức tính thể tích khối chóp

• Công thức tính thể tích khối lăng trụ

• Công thức về tỉ số thể tích khối đa diện

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

• Công thức tính bán kính của hình nón

• Công thức tính đường sinh của hình nón

• Công thức tính diện tích hình nón

• Công thức tính thể tích khối nón

• Công thức tính bán kính hình trụ

• Công thức tính chiều cao hình trụ

• Công thức tính diện tích hình trụ

• Công thức tính thể tích khối trụ

• Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu

• Công thức tính diện tích mặt cầu

• Công thức tính thể tích khối cầu

• Công thức tính diện tích thiết diện hình nón

• Công thức tính diện tích hình nón cụt

• Công thức tính thể tích khối nón cụt

• Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ

• Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt

---

---

---

Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Lý thuyết 

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:

+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x₁,x₂ ∈ K, x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂) .

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀x₁,x₂ ∈ K, x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂) .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

Nhận xét:

+ Hàm số f(x) đồng biến trên K ∀x₁,x₂ ∈ K, x₁ ≠ x₂.

Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:

• Nếu f^'(x) > 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

• Nếu f^'(x) < 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

• Nếu f^'(x) = 0, ∀x ∈ (a,b) hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)

• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) => f^'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a,b)

• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) => f^'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a,b)

• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử  hàm số f có đạo hàm trên K

• Nếu f^'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f^'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.

• Nếu f^'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f^'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K.

Phương pháp giải chung

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y^' = f^'(x).

Bước 2. Tìm các điểm tại đó f^'(x) = 0 hoặc f^'(x) không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y'.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y'.

Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y'.

Chú ý:

• Đối với hàm phân thức hữu tỉ thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y' không xảy ra.

• Giả sử y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d => f^'(x) = 3ax² + 2bx + c

+ Hàm số đồng biến trên R                     

        

+ Hàm số nghịch biến trên

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:

Bước 1: Tính y^' = f^'(x,m) = ax² + bx + c

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x₁,x₂) ⇔ y^' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1

Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.

Phương pháp tính cực trị của hàm số

1. Lý thuyết 

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là -∞ ; b là +∞) và điểm x_o ∈ (a,b)

          a. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) ∀x ∈ (x₀ - h, x₀ + h ) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀

          b. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) ∀x ∈ (x₀ - h, x₀ + h ) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ 

Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. Kí hiệu là f_CĐ(f_CT), còn điểm M(x₀,f(x₀) ) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f^'(x₀) = 0

Thật vậy giả sử f(x) đạt cực đại tại x₀. Khi đó theo định nghĩa ta có:

+ TH1: Δx > 0 => f^'(x₀⁺) = 0

+ TH2: Δx < 0 => f^'(x₀^-) = 0

Mà f(x) có đạo hàm nên suy ra f^'(x) = 0.

2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a. Điều kiện cần

- f (x) đạt cực trị tại x₀, có đạo hàm tại x₀ thì f^'(x₀) = 0.

b. Điều kiện đủ

- Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h, x₀ + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ với h > 0

+ Nếu f^'(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h, x₀) và f^'(x) < 0 trên khoảng (x₀, x₀ + h ) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

+ Nếu f^'(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h, x₀) và f^'(x) > 0 trên khoảng (x₀, x₀ + h ) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:

+ Nếu f^'(x) đổi dấu từ + sang - khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại

+ Nếu f^'(x) đổi dấu từ - sang + khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

- Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại x₀ thì f^'(x) phải đổi dấu khi qua x₀

- Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x₀ - h, x₀ + h ), với h > 0. Khi đó:

+) Nếu thì x₀ là điểm cực đại;

+) Nếu thì là x₀ điểm cực tiểu.

3. Quy tắc tìm cực trị

a. Quy tắc 1. (Dựa vào định lí 1)

+B1: Tìm tập xác định

+B2: Tính f^'(x). Tìm các điểm tại đó f^'(x) = 0 hoặc f^'(x) không xác định.

+B3: Lập bảng xét dấu f^'(x)

+B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.

b. Quy tắc 2 (Dựa vào định lí 2)

+B1: Tìm tập xác định

+B2: Tính f^'(x) và giải phương trình f^'(x) = 0 được nghiệm x_i

+B3: Tính f^''(x) và f^''(x_i) suy ra tính chất cực trị của các điểm x_i rồi kết luận.

- Chú ý: Nếu f^''(x_i) = 0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.

- Lưu ý: Hàm trùng phương 

+) Có 1 cực trị khi a.b ≥ 0

+) Có 3 cực trị khi a.b < 0

..........................

..........................

..........................

Công thức tính thể tích khối chóp

1. Lí thuyết

- Định nghĩa hình chóp: Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của chóp.

- Có 2 loại chóp phổ biến là chóp tam giác và chóp tứ giác

         

+ Đường cao của hình chóp là đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với đáy.

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy của mặt bên đó.

+ 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng vuông góc với đáy.

2. Công thức tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có đường cao là h

Diện tích đa giác đáy là S

3. Thể tích một số khối chóp đặc biệt

a. Khối tứ diện đều: Là khối chóp có tất cả các cạnh bằng nhau

Tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Chân đường cao là trọng tâm của đáy

Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Do ABCD là tứ diện đều nên AG ⊥ (BCD) 

 .

b. Khối chóp tam giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác. Chân đường cao là trọng tâm của tam giác đáy.

Bài toán 1: Cho khối chóp S.ABC đều, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên bằng a√2. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có SG ⊥ (ABC) 

 

Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC đều có đáy ABC là tam giác vuông tại B.AB = a, BC = a√3. Các cạnh bên tạo với đáy góc 60⁰. Tính V_S.ABC.

Lời giải:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Do ΔABC vuông tại B nên O là trung điểm của AC.

Ta có (SA,(ABC)) = (SA,OA) = = 60⁰ 

Áp dụng định lí pytago cho ΔABC ta được AC = 2a => SO = a√3 

 

c. Khối chóp tứ giác đều

- Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Đáy là hình vuông, chân đường cao là tâm của hình vuông.

Bài toán: Cho khối chóp đều S.ABCD đáy vuông cạnh a. Các cạnh bên dài 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có SO ⊥ (ABCD) .

. Áp dụng pytago cho ΔSOD ta được  

Diện tích ABCD là a² =>  

d. Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc.

- Giả sử 3 cạnh bên có độ dài lần lượt là a, b và c. Khi đó thể tích khối chóp này là:

 

d. Khối tứ diện gần đều

- Là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Bài toán: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

 

4. Công thức tỉ số thể tích

Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A^', B^', C^'. 

Khi đó tỉ số thể tích:

 

VD1. Cho hình chóp S.ABC có thể tích là 120.Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M, N, Q sao cho: MA = 2SM; NB = 3SN và QC = 4SQ. Tính thể tích khối chóp S.MNQ?

Lời giải:

Từ giả thiết ta có:

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:  

Suy ra  

VD2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và SA = 2a; AB = 2a; BC = a√3. Lấy M trung điểm SA và N trung điểm SB.

a. Tính thể tích khối chóp S.ABC 

b. Tính thể tích khối đa diện

Lời giải:

a. Diện tích ΔABC là  

Suy ra  

b. Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

 

Do đó  

- Chú ý: Khi áp dụng phương pháp tỉ số thể tích ta chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác. Nếu không là khối chóp tam giác thì ta nên chia khối chóp đã cho thành các khối chóp tam giác để có thể dùng được phương pháp thể tích.

                             

5. Luyện tập 

Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B. AC = a√2, CB = a. SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 45⁰ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy và góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60⁰ . Tính V_S.ABCD .

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có AD = 2a; AB = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. Mặt bên SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AD = a√3; CD = AB và góc giữa SC với đáy bằng 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Dạng 3. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau 

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Đáy ABC vuông tại B, AB = a; . M là trung điểm SA. Khoảng cách từ M đến (SBC) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Dạng 4. Tỉ số thể tích

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của khối tứ diện AB’C’D’ biết thể tích của ABCD là 100

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60⁰. Lấy A’ trên SA sao cho . Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’.

....................................

....................................

....................................

Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 12 Học kì 1 và Học kì 2, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---