Công thức tính diện tích thiết diện hình nón (siêu hay)

Công thức tính diện tích thiết diện hình nón (siêu hay)

Công thức tính diện tích thiết diện hình nón hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Lí thuyết

a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón

Thiết diện là một tam giác cân.

Thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Gọi H là trung điểm AB. Khi đó:

+ Góc giữa thiết diện với đáy là ∠SHI  . Giả sử ∠SHI = α => 

+ Diện tích thiết diện S_∆SAB = SH.AH= 

b. Thiết diện đi qua trục

Diện tích  thiết diện S_∆SAB= SI.AB = h.r

c. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đỉnh một khoảng là h’ tạo ra thiết diện là một hình tròn.

Ta có: 2 tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên: 

Do đó diện tích thiết diện S= πr'²

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh a. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Theo bài ta có SAB vuông cân tại S có SA=SB=a 

Diện tích tam giác SAB là   SA.SB = a²

Ví dụ 2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng . Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt đáy góc 60°. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện tạo thành là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB. Ta chứng minh được ∠SHI = 60°

=> IH = = a; SH=2a

Tam giác IAH vuông tại H nên AH = = a

Suy ra S_∆SAB= SH.AH =a²

Ví dụ 3. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao a. Mặt phẳng (P) qua S và cắt đáy tại A và B sao cho AB=  . Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) là . Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB.

Trong mp (SHI) kẻ IK ⊥ SH => d(I(SAB)) = IK = 

Ta có:    => IH=a

=> SH = 

Vậy diện tích thiết diện là S= SH.AB=

Ví dụ 4. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh là 5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh và tạo với trục một góc 30°. Tính diện tích thiết diện

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB

Ta có góc giữa (SAB) và trục là ∠ISH = 30°

Chiều cao hình nón là

=> IH= IH.tan30°= ; SH =

Ta có AH= => S_∆SAB= SH.AH = 

Ví dụ 5. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao là 5. Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đáy một đoạn bằng 2. Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

Lời giải:

Gọi tâm thiết diện là I’ bán kính thiết diện là I’A’

Tâm đường tròn đáy của nón là I; bán kính là IA

Theo bài ta có II^' = 2 => SI' =3 

Tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

Vậy diện tích thiết diện là S = π= π .

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích hình nón cụt

• Công thức tính thể tích khối nón cụt

• Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ

• Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt

• Công thức tính bán kính của hình nón

---