Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian - Toán lớp 12
Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.
Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian - Toán lớp 12
1. Công thức
• Trong không gian, cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu , là một số thực được xác định bởi công thức:
,
ở đó () là góc giữa hai vectơ (0° ≤ () ≤ 180°).
• Nếu () = 90° thì ta nói vectơ và vuông góc với nhau, kí hiệu .
• Tính chất: Với các vectơ bất kì và số thực k tùy ý, ta có:
• Chú ý
+ Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ bằng 0, tức là nếu hoặc thì .
+ Cho hai vectơ đều khác . Khi đó, .
+ Với mọi vectơ , ta có .
+ Nếu là hai vectơ khác thì cos() = .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.
a) Tính các tích vô hướng , .
b) Tính góc .
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng , .
b) Tính góc .
Hướng dẫn giải
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho = 3, = 5, góc giữa và bằng 120°. Tính tích vô hướng của hai vectơ và .
Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a.
a) Tính ;
b) Tính các góc , , .
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ và .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính , , .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có BC = , các cạnh còn lại đều bằng a. Tính góc giữa hai vectơ và .
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Đề thi lớp 1 (các môn học)
- Đề thi lớp 2 (các môn học)
- Đề thi lớp 3 (các môn học)
- Đề thi lớp 4 (các môn học)
- Đề thi lớp 5 (các môn học)
- Đề thi lớp 6 (các môn học)
- Đề thi lớp 7 (các môn học)
- Đề thi lớp 8 (các môn học)
- Đề thi lớp 9 (các môn học)
- Đề thi lớp 10 (các môn học)
- Đề thi lớp 11 (các môn học)
- Đề thi lớp 12 (các môn học)
- Giáo án lớp 1 (các môn học)
- Giáo án lớp 2 (các môn học)
- Giáo án lớp 3 (các môn học)
- Giáo án lớp 4 (các môn học)
- Giáo án lớp 5 (các môn học)
- Giáo án lớp 6 (các môn học)
- Giáo án lớp 7 (các môn học)
- Giáo án lớp 8 (các môn học)
- Giáo án lớp 9 (các môn học)
- Giáo án lớp 10 (các môn học)
- Giáo án lớp 11 (các môn học)
- Giáo án lớp 12 (các môn học)