Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian (siêu hay)

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

• Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a} . \vec{b}$ , là một số thực được xác định bởi công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ ,

ở đó ( $\vec{a}, \vec{b}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ (0° ≤ ( $\vec{a}, \vec{b}$ ) ≤ 180°).

• Nếu ( $\vec{a}, \vec{b}$ ) = 90° thì ta nói vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

• Tính chất: Với các vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và số thực k tùy ý, ta có:

Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Chú ý

+ Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ $\vec{0}$ bằng 0, tức là nếu $\vec{a} = 0$ hoặc $\vec{b} = 0$ thì $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+ Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Khi đó, $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

+ Với mọi vectơ $\vec{a}$ , ta có ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

+ Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì cos( $\vec{a}, \vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và M là trung điểm của CD.

a) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ , $\vec{A B} . \vec{B C}$ .

b) Tính góc $(\vec{A B}, \vec{C D})$ .

Hướng dẫn giải

Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A' C'}$ , $\vec{A B} . \vec{C C'}$ .

b) Tính góc $(\vec{A C}, \vec{A C'})$ .

Hướng dẫn giải

Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $| \vec{a} |$ = 3, $| \vec{b} |$ = 5, góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 120°. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a.

a) Tính $\vec{A C} . \vec{E F}$ ;

b) Tính các góc $(\vec{A B}, \vec{D H})$ , $(\vec{A F}, \vec{E G})$ , $(\vec{A C}, \vec{B G})$ .

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{C H}$ và $\vec{A C}$ .

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính $(\vec{S A}, \vec{C D})$ , $(\vec{A B}, \vec{B D})$ , $(\vec{S A}, \vec{C D})$ .

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có BC = $a \sqrt{2}$ , các cạnh còn lại đều bằng a. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{S B}$ và $\vec{A C}$ .

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official