Biểu thức tọa độ của tích vô hướng (siêu hay)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng (siêu hay)

1. Công thức

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$(x; y; z) thì $\left|\overrightarrow{a}\right|$ = $\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

b) Nếu A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂) thì

AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2\text{+ }{\left(y_2-y_1\right)}^2\text{+ }{\left(z_2-z_1\right)}^2}$.

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) khác vectơ $\overrightarrow{0}$, ta có:

• $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁.x₂ + y₁.y₂ + z₁.z₂ = 0.

• cos($\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}.\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(7; 3; 3), B(1; 2; 4), C(2; 3; 5).

a) Tìm tọa điểm H là chân đường cao kẻ từ A đến tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh AB, AC.

c) Tính $\widehat{BAC}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}$ = (1; 1; 1).

Vì H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên H ∈ BC và AH ⊥ BC.

Gọi H(x; y; z) là tọa độ của H, ta có $\overrightarrow{BH}$ = (x – 1; y – 2; x – 4).

Vì $\overrightarrow{BH}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ nên tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{BC}$.

Do đó, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-1=k\\ y-2=k\\ z-4=k\end{array}\right.$ ⇒ H(k + 1; k + 2; k + 4).

Ta có $\overrightarrow{AH}$ = (k – 6; k – 1; k + 1).

$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ ⇔ $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ = 0 ⇔ k – 6 + k – 1 + k + 1 = 0 ⇔ 3k = 6 ⇔ k = 2.

Suy ra H(3; 4; 6).

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−6; −1; 1); $\overrightarrow{AC}$ = (−5; 0; 2)

⇒ AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\sqrt{{(-6)}^2+{(-1)}^2+1^2}$ = $\sqrt{38}$; AC = $|\overrightarrow{AC|}$ = $\sqrt{{(-5)}^2+0^2+2^2}$ = $\sqrt{29}$.

c) $\cos \widehat{BAC}$= $\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{30+0+2}{\sqrt{38}.\sqrt{29}}=\frac{32}{\sqrt{1102}}$ ⇒ $\widehat{BAC}$ ≈ 15°26'.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; −2; 1), C(−2; 5; 7).

a) Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (3; −4; 0); $\overrightarrow{BC}$ = (−5; 7; 6); $\overrightarrow{AC}$ = (−2; 3; 6).

AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+{(-4)}^2+0^2}$ = 5;

BC = $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{(-5)}^2+7^2+6^2}$ = $\sqrt{110}$;

AC = $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{{(-2)}^2+3^2+6^2}$ = 7.

Chu vi tam giác ABC là: 5 + 7 + $\sqrt{110}$ = 12 + $\sqrt{110}$.

b) $\cos \widehat{BAC}$ = $\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}$ = $\frac{3.(-2)+(-4).3+0.6}{5.7}$ = $-\frac{18}{35}$ ⇒ $\widehat{BAC}$ ≈ 121°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1; 1; −1), B(0; 1; 2), C(1; 1; 2).

a) Tìm tọa điểm H là chân đường cao kẻ từ A đến tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh AB, AC.

c) Tính $\widehat{BAC}$.

Bài 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).

a) Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BCA}$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 5; −1), B(7; a; 1), C(9; 2; b).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) Nếu A, B, C thẳng hàng thì a + b = 5.	Đ	S
b) Điểm G$\left(\frac{19}{3};\frac{8}{3};3\right)$ là trọng tâm tam giác ABC thì a = 1, b = 3.	Đ	S
c) Tam giác ABC vuông tại A khi a = 13, b = −1.	Đ	S
d) Trung điểm I của AB có tọa độ (5; 3; 0) khi a = 1.	Đ	S

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác MNP có M(0; 1; 2), N(5; 9; 3), P(7; 8; 2).

a) Tìm tọa độ điểm K là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP.

b) Tính độ dài cạnh MN, MP.

c) Tính góc $\widehat{NMP}$.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2; 1; −3), B(0; −2; 5), C(1; 1; 3).

a) Tìm tọa độ điểm D.

b) Tìm tọa độ chân đường cao H kẻ từ A của tam giác ABC.

c) Tính diện tích tam giác ABC.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Các công thức về tính chất của nguyên hàm

• Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

---