Công thức xác định cực trị của hàm số - Toán lớp 12

Công thức xác định cực trị của hàm số Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức xác định cực trị của hàm số - Toán lớp 12

1. Công thức

* Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là –∞; b là +∞) và điểm x₀ ∈ (a; b).

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⊂ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

• Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⊂ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

 Chú ý:

(1) Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số f(x); f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số f(x), kí hiệu là f_CĐ (f_CT) hay y_CĐ (y_CT), còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

(2) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

* Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó:

+ Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

→ Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang –  khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại.

+ Nếu f'(x)  đổi dấu từ – sang + khi đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

* Các bước tìm cực trị của hàm số y = f(x):

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng xét dấu của đạo hàm hoặc bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4. Từ bảng xét dấu hoặc bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² – 9x + 2;

b) y = x⁴ – 2x² + 2.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 6x – 9;

          y' = 0 khi x = –1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = –1; đạt cực tiểu tại điểm x = 3.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: y' = 4x³ – 4x;

          y' = 0 khi x = – 1 hoặc x = 0 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = 0; đạt cực tiểu tại các điểm x = –1 và x = 1.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = $\frac{x+3}{x-1}$;

b) y = $\frac{x^2-2x+9}{x-2}$.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là ℝ \ {1}.

Ta có y' = $\frac{\left(x-1\right)-\left(x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-4}{{\left(x-1\right)}^2}$ < 0, với mọi x ≠ 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ \ {2}.

Ta có y' = $\frac{\left(2x-2\right)\left(x-2\right)-\left(x^2-9x+9\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{x^2-4x-5}{{\left(x-2\right)}^2}$;

          y' = 0 khi x = –1 hoặc x = 5.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và y_CĐ = y(–1) = –4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5 và y_CT = y(5) = 8.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x³ – 6x² + 9x – 2;

b) y = x⁴ + 2x² – 2;

c) y = $\frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

Bài 2. Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x⁴ – 4x² + 1;

b) y = $-\frac{1}{3}$x³ +2x² + 5x - 2;

c) y = sin x + cos x.

Bài 3. Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) y = x.e^2x;

b) y = x³.ln x.

Bài 4. Trong 6 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

s(t) = t³ – 5t² + 7t + 1,

trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Trong khoảng thời gian nào của 6 giây đầu tiên thì vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên?

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

---