Công thức xác định GTNN - GTLN của hàm số (siêu hay)

Công thức xác định GTNN - GTLN của hàm số Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức xác định GTNN - GTLN của hàm số (siêu hay)

1. Công thức

* Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M ∀ x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D: f(x₀) = M.

Kí hiệu là: $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$.

+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ M ∀ x ∈ D và tồn tại x₁ ∈ D: f(x₁) = m.

Kí hiệu là: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

* Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm y'. Tìm những điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN của hàm số.

- Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn.

Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại x = ±∞. Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

* Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 1. Tìm các điểm x₁, x₂, …, x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), f(a) và f(b).

Bước 3. So sánh các số tìm được ở Bước 2.

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận: $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=M$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=m$.

- Chú ý: Đối với hàm phân thức y = $\frac{ax+b}{cx+d}$. Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn [m;n].

+) Nếu $-\frac{d}{c}\in \left[m;n\right]$ thì hàm số không có GTLN và GTNN.

+) Nếu $-\frac{d}{c}\notin \left[m;n\right]$ thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) $y=x-3+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞);

b) $y=\frac{x}{4+x^2}$ trên khoảng (–∞; +∞).

Lời giải

a) Trên khoảng (0; +∞), ta có: $y^{\text{'}}=1-\frac{1}{x^2}$; y' = 0 khi x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1\right)=-1$ và không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số.

b) Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{4+x^2-2x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(4+x^2\right)}^2}$;

     y’ = 0 khi x = –2 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\max y=y\left(2\right)=\frac{1}{4}$ và $\min y=y\left(-2\right)=-\frac{1}{4}$.

Ví dụ 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y = x³ + 3x² – 9x – 7 trên đoạn [– 4; 3];

b) y = x⁴ – 4x² + 3 trên đoạn [1; 3].

Lời giải

a) Ta có y' = 3x² + 6x – 9.

Trên khoảng (– 4; 3), y' = 0 khi x = – 3 hoặc x = 1.

Tính: y(– 4) = 13; y(– 3) = 20; y(1) = – 12; y(3) = 20.

Suy ra $\underset{\left[-4;3\right]}{\max y}=20$ tại x = –3 và x = 3 và $\underset{\left[-4;3\right]}{\min y}=-12$ tại x = 1.

b) Ta có y' = 4x³ – 8x.

Trên khoảng (1; 3), y' = 0 khi x = $\sqrt{2}$.

Tính: y(1) = 0; y($\sqrt{2}$) = – 1; y(3) = 48.

Vậy $\underset{\left[1;3\right]}{\min y}=-1$ tại x = $\sqrt{2}$ và $\underset{\left[1;3\right]}{\max y}=48$ tại x = 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a) y = 2x³ – 3x² – 12x + 8 trên đoạn [– 3; 3];

b) y = x⁴ – 2x² + 3 trên đoạn [– 2; 0];

c) $y=\frac{x-1}{x-2}$ trên đoạn [– 4; – 1].

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $\left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$;

b) y = x³ – 3x² – 9x + 35 trên các đoạn [– 4; 4] và [– 5; 3];

c) y = 3^x + 3^{– x} trên đoạn [– 1; 2];

d) y = ln(x² + 2x + 3) trên đoạn [2; 4].

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$;                               

b) $\frac{1}{1+x^4}$.

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình x = 6t² – t³. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

---