Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số hay, nhanh nhất - Toán lớp 12

Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số hay, nhanh nhất

Với loạt bài Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Bài viết Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số Toán 12.

1. Lí thuyết

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M ∀x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D; f(x₀) = M

- Kí hiệu là:

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ M ∀x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D; f(x₀) = m

- Kí hiệu là:

2. Các bước tìm GTLN - GTNN của hàm số trên D hoặc trên một khoảng xác định.

- Tìm TXĐ: D

- Tính y^'. Tìm những điểm mà y^' = 0 và y^' không xác định

- Lập bảng biến thiên 

- Dựa vào bảng biến thiên và kết luận GTLN; GTNN

- Lưu ý: GTLN, GTNN của hàm số phải là số hữu hạn

+ Trong một vài TH (thường là hàm phân thức) GTLN, GTNN hữu hạn nhưng đạt tại . Khi đó ta cũng kết luận là hàm số không có GTLN (GTNN).

3. Cách tính GTLN và GTNN trên một đoạn

a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

b. Quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a,b]

- Tìm các điểm trên khoảng (a,b) mà tại đó f^'(x) = 0 hoặc f^'(x) không xác định

- Tính f(a), f(x₁), f(x₂),..... f(x_n), f(b)

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

- Kết luận:

- Chú ý: Đối với hàm phân thức . Khi tìm GTLN và GTNN của hàm này trên đoạn [m,n].

+) Nếu  ∈ [m,n] thì hàm số không có GTLN và GTNN

+) Nếu  ∉ [m,n] thì GTLN và GTNN sẽ đạt tại các đầu mút.

                         

4. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a.  trên khoảng (0, +∞)

b.  trên khoảng (-∞, +∞)

Lời giải:

a. Trên khoảng (0, +∞), ta có: ;y^' = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy  và không tồn tại GTNN.

b.

y^' = 0 ⇔ x =

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Ví dụ 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. y = x³ + 3x² - 9x - 7 trên đoạn [-4,3]

b. y = x⁴ - 4x² + 3 trên đoạn [1,3]

Lời giải:

a. Ta có y^' = 3x² + 6x - 9

y^' = 0 ⇔

Tính: y(-4) = 13; y(-3) = 20

y(1) = -12; y(3) =20

Suy ra

b. Ta có y^' = 4x³ - 8x

Tính y(1) = 8; y(√2) = 15; y(3) = 120

Vậy

5. Luyện tập

Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a. y = 2x³ - 3x² - 12x + 8 trên đoạn [-3,3]

b. y = x⁴ - 2x² + 3 trên đoạn [-2,0]

c. y =  trên đoạn [-4,4]

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a. y =  trên đoạn 

b. y = x³ - 3x² - 9x + 35 trên các đoạn [-4,4] và [-5,3] 

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau:

a. y =                       b. y = 

Bài 4. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất.

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình x = 6t² - t³. Tính thời điểm t (giây) mà tại đó chất điểm có vận tốc lớn nhất.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = $\frac{x-1}{x+2}$ trên đoạn [0; 2].

Bài 2. Cho hàm số y = x⁴ – 2x² + 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].

Bài 3. Gọi A, a lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  của hàm số $y=\left|x^3-3x+m\right|$ trên đoạn [0; 2]. Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để Aa = 12. Tính tổng các phần tử của S.

Bài 4. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = $\frac{mx+1}{x+m^2}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [2; 3] bằng $\frac{5}{6}$. Tính tổng của các phần tử của T.

Bài 5. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = $\frac{x-m^2-2}{x-m}$ trên đoạn [0; 4] bằng -1.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---