Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hay, nhanh nhất - Toán lớp 12
Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hay, nhanh nhất
Với loạt bài Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Bài viết Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán 12.
1. Lí thuyết
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2). Khi đó số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) sẽ bằng số giao điểm của (C1) và (C2)
2. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình
Cho phương trình f(x) = m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = f(x). Trong đó đường thẳng y = m tịnh tiến trên trục Oy.
3. Cách biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m
a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số f(x) = m
- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y = m xem nó cắt đồ thị y = f(x) tại mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.
- Hình bên là đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 - 2
Ta biện luận số nghiệm của x3 + 3x2 - 2 = m như sau:
+ Phương trình có 1 nghiệm
+ Phương trình có 2 nghiệm
+ Phương trình có 3 nghiệm ⇔ -2 < m < 2
b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị
- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1
- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị
4. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 như hình bên.
a. Từ đồ thị hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến
b. Biện luận số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0
Lời giải:
a. Dựa vào đồ thị ta thấy
- Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng (-∞, -1) và (1,+∞)
- Hàm số đồng biến trên trên khoảng (-1,1)
b. x3 - 3x + m = 0 ⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1 (1)
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m + 1
- Đường thẳng y = m + 1 là đường thẳng song song với trục Ox. Tịnh tiến đường thẳng ta được:
+ phương trình (1) có 1 nghiệm
+ phương trình (1) có 2 nghiệm
+ phương trình (1) có 3 nghiệm ⇔ -1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình x3 + 3x2 + 2 - m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Lời giải:
x3 + 3x2 + 2 - m = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 2 = m (1)
- Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của y = x3 + 3x2 + 2 và y = m
- Xét hàm số y = x3 + 3x2 + 2 ta có: y' = 3x2 + 6x = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2 < m < 6
5. Luyện tập
Bài 1.
Cho hàm số y = -x4 + 4x2 + 2 có đồ thị như hình bên.
Biện luận số nghiệm của phương trình x4 - 4x2 + m - 3 theo m
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới.
Biện luận số nghiệm của phương trình 2f(x) - m = 0
Bài 3.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-2,2] và có đồ thị là hình cong bên.
Số nghiệm của phương trình trên đoạn [-2,2] bằng?
Bài 4. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 5. Tìm m để bất phương trình x3 - 3x2 + 1 - m nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1,1].
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12