Các công thức về tính chất của nguyên hàm (siêu hay)

Các công thức về tính chất của nguyên hàm Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Các công thức về tính chất của nguyên hàm (siêu hay)

1. Công thức

Tính chất của nguyên hàm

Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên K, với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

+ Tính chất 1: $\int kf\left(x\right)d\text{x}=k\int f\left(x\right)d\text{x}$ với k là hằng số khác 0.

+ Tính chất 2: $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}+\int g\left(x\right)d\text{x}$;

                        $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}-\int g\left(x\right)d\text{x}$.

Lưu ý: $\int 0d\text{x}=C$; $\int d\text{x}=x+C$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm:

a) $\int 4x^{2}dx$;

b) $\int -\frac{5}{2}{x}^{2}dx$.

Lời giải

Ta có:

a) $\int 4x^{2}dx=4\int x^{2}dx=4\cdot \frac{x^3}{3}+C=\frac{4x^3}{3}+C$.

b) $\int -\frac{5}{2}{x}^{2}dx=-\frac{5}{2}\int x^{2}dx=-\frac{5}{2}\cdot \frac{x^3}{3}+C=-\frac{5x^3}{6}+C$.

Ví dụ 2. Tìm:

a) $\int \left(x+x^2\right)dx$;

b) $\int \left(2x-x^3\right)dx$.

Lời giải

Ta có:

a) $\int \left(x+x^2\right)dx=\int xdx+\int x^{2}dx=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+C$.

b) $\int \left(2x-x^3\right)dx$ = $2\int xdx-\int x^{3}dx$ = $2\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+C$ = $x^2-\frac{x^4}{4}+C$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm:

a) $\int 5xdx$;

b) $\int \left(-\frac{7}{3}{x}^2\right)dx$;

c) $\int 2x^{3}dx$.

Bài 2. Tìm:

a) $\int \left(2x+3x^2\right)dx$;

b) $\int \left(x^2-2x^3\right)dx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x² + 2x⁴ – 3, biết F(1) = 4.

Bài 4. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20,5 m với vận tốc được tính bởi công thức

v(t) = – 9,8t + 15,6 (m/s).

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t.

b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Các công thức về tính chất của tích phân

• Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp

• Công thức tính diện tích hình phẳng

• Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

---