Công thức tọa độ của một vectơ (siêu hay)

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Công thức tọa độ của một vectơ Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tọa độ của một vectơ (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

• Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ .

Chú ý:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có:

$\vec{O M}$ = (a; b; c) ⇔ M(a; b; c);

Vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục Ox có tọa độ là $\vec{i}$ = (1; 0; 0).

Vectơ đơn vị $\vec{k}$ trên trục Oz có tọa độ là $\vec{k}$ = (0; 0; 1).

Vectơ đơn vị $\vec{j}$ trên trục Oy có tọa độ là $\vec{j}$ = (0; 1; 0).

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vectơ $\vec{u}$ là tọa độ của điểm A trong đó A là điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ .

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu $\vec{u}$ = (a; b; c) thì $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k}$ . Ngược lại, nếu $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j} + c \vec{k}$ thì $\vec{u}$ = (a; b; c).

• Với $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂), ta có: $\vec{u} = \vec{v}$ ⇔ $\{\begin{cases} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} . \end{cases}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Khi đó, ta có: $\vec{A B}$ = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\vec{a}$ = (−2; 5; −7), $\vec{b}$ = (4; 0; 1). Biểu diễn $\vec{a}, \vec{b}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

b) A(2; 2; −1), B(1; 0; −4). Biểu diễn $\vec{O A}, \vec{O B}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn các vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ , ta được:

$\vec{a} = - 2 \vec{i} + 5 \vec{j} - 7 \vec{k}; \vec{b} = 4 \vec{i} + 0 \vec{j} + 1 \vec{k}$ .

b) Từ giả thiết, ta có: $\vec{O A}$ = (2; 2; −1); $\vec{O B}$ = (1; 0; −4).

Biểu diễn theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ , ta được: $\vec{O A} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}$ ; $\vec{O B} = \vec{i} + 0 \vec{j} - 4 \vec{k}$ .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh A(1; 1; 2), B(4; 3; 1) và C(−1; 3; 4).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ .

b) Tìm tọa độ của điểm D.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{A B}$ = (4 – 1; 3 – 1; 1 – 2) = (3; 2; −1).

b) Gọi tọa độ điểm D là (x; y; z), ta có:

$\vec{D C}$ = (−1 – x; 3 – y; 4 – z).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

Công thức tọa độ của một vectơ

Vậy D(−4; 1; 5).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\vec{a}$ = (−2; 5; −7), $\vec{b}$ = (4; 0; 1). Tính $\vec{a}, \vec{b}$ theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

b) A(2; 7; 0), B(0; 5; 2). Tính các vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{A B}$ và biểu diễn theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

Bài 2. Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3; −1; 0).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{M N}, \vec{N P}, \vec{M P}$ .

b) Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Bài 4. Cho các điểm A(−1; 12; −27), D(0; 3; −1), C(13; 3; −2). Tìm tọa độ điểm B sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{u}$ = (4; 3; 2) và điểm A(1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \vec{u}$ .

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official