Công thức tọa độ của một vectơ - Toán lớp 12

Công thức tọa độ của một vectơ Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tọa độ của một vectơ - Toán lớp 12

1. Công thức

• Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.

Chú ý:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có:

$\overrightarrow{OM}$ = (a; b; c) ⇔ M(a; b; c);

Vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$ trên trục Ox có tọa độ là $\overrightarrow{i}$ = (1; 0; 0).

Vectơ đơn vị $\overrightarrow{k}$ trên trục Oz có tọa độ là $\overrightarrow{k}$ = (0; 0; 1).

Vectơ đơn vị $\overrightarrow{j}$ trên trục Oy có tọa độ là $\overrightarrow{j}$ = (0; 1; 0).

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$.

• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a; b; c) thì $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$ . Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$ thì $\overrightarrow{u}$ = (a; b; c).

• Với $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂), ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\\ z_1=z_2.\end{array}\right.$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\overrightarrow{a}$ = (−2; 5; −7), $\overrightarrow{b}$ = (4; 0; 1). Biểu diễn $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) A(2; 2; −1), B(1; 0; −4). Biểu diễn $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, ta được:

$\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+ 5\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}; \overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+1\overrightarrow{k}$.

b) Từ giả thiết, ta có: $\overrightarrow{OA}$ = (2; 2; −1); $\overrightarrow{OB}$ = (1; 0; −4).

Biểu diễn theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, ta được: $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+ 2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$; $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}+ 0\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có ba đỉnh A(1; 1; 2), B(4; 3; 1) và C(−1; 3; 4).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Tìm tọa độ của điểm D.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (4 – 1; 3 – 1; 1 – 2) = (3; 2; −1).

b) Gọi tọa độ điểm D là (x; y; z), ta có:

$\overrightarrow{DC}$ = (−1 – x; 3 – y; 4 – z).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

Vậy D(−4; 1; 5).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\overrightarrow{a}$ = (−2; 5; −7), $\overrightarrow{b}$ = (4; 0; 1). Tính $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) A(2; 7; 0), B(0; 5; 2). Tính các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{AB}$ và biểu diễn theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Bài 2. Cho tam giác MNP có M(2; 1; 3), N(1; 2; 3), P(−3; −1; 0).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{MP}$.

b) Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C'(4; 5; −5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Bài 4. Cho các điểm A(−1; 12; −27), D(0; 3; −1), C(13; 3; −2). Tìm tọa độ điểm B sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}$ = (4; 3; 2) và điểm A(1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ

• Công thức tọa độ trung điểm

• Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

Săn shopee giá ưu đãi :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---