Công thức viết phương trình mặt phẳng - Toán lớp 12

Công thức viết phương trình mặt phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức viết phương trình mặt phẳng - Toán lớp 12

1. Công thức

a) Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (a₁; a₂; a₃), $\overrightarrow{b}$ = (b₁; b₂; b₃) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow{n}$ = [$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$] = $\left(\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x_o; y_o; z_o) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A(x – x_o) + B(y – y_o) + C(z – z_o) = 0.

• Chú ý: Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x_o; y_o; z_o) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

Ax + By + Cz + D = 0 với D = −Ax_o – By_o − Cz_o.

d) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x_o; y_o; z_o) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$.

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x_o; y_o; z_o) nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

e) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm H(a₁; b₁; c₁), I(a₂; b₂; c₂), K(a₃; b₃; c₃) không thẳng hàng ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là:

$\overrightarrow{HI}$ = (a₂ – a₁; b₂ – b₁; c₂ – c₁), $\overrightarrow{HK}$ = (a₃ – a₁; b₃ – b₁; c₃ – c₁).

Bước 2. Tìm $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HK}\right]$.

Bước 3. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(a₁; b₁; c₁) nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

• Chú ý:

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc ≠ 0 có phương trình là:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{x}{c}$ = 1.

Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; −3; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (−2; 4; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, mặt phẳng đó có phương trình là:

−2(x – 2) + 4(y – (−3)) + 1(z – 4) = 0 hay 2x − 4y − z − 12 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −1; 0), B(0; 1; 1),

C(1; 0; −1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−1; 2; 1), $\overrightarrow{AC}$ = (0; 1; −1)

⇒ $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (−3; −1; −1).

⇒ $\overrightarrow{n}$ = (−3; −1; −1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: −3(x – 1) – 1(y – (−1)) – 1(z – 0) = 0

                                                    ⇒ 3x + y + z – 2 = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết các phương trình mặt phẳng sau, biết mặt phẳng đó:

a) Đi qua A(1; 4; −5) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (1; 2; 2).

b) Đi qua M(0; 2; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (2; 3; −2).

c) Đi qua ba điểm A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4; 5; 6).

Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm M(1; −3; 5). Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (IJK).

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng qua M(0; 2; −3) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}$ = (1; 3; 5), $\overrightarrow{b}$ = (−3; −1; 1).

Bài 4. Cho bốn điểm A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; −1; 3) và D(3; −1; 5).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (ABD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua C và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(2; −3; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (−2; 4; 1) là vectơ pháp tuyến.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

---