Vị trí tương đối của hai đường thẳng (siêu hay)

Vị trí tương đối của hai đường thẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng (siêu hay)

1. Công thức

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt ∆₁, ∆₂ lần lượt đi qua các điểm M₁, M₂ và tương ứng có $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

• ∆₁ // ∆₂ ⇔ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ cùng phương và $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{M_1{M}_2}$ không cùng phương

⇔ $\left\{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=\overrightarrow{0}\\ \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{M_1{M}_2}\right]\ne \overrightarrow{0}\end{array}\right.$.

• ∆₁ cắt ∆₂ ⇔ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương và $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{M_1{M}_2}$ đồng phẳng

⇔ $\left\{\begin{array}{l}[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]\ne \overrightarrow{0}\\ \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}=0\end{array}\right.$.

• ∆₁ và ∆₂ chéo nhau ⇔ $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}\ne 0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

∆₁: $\frac{x+3}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-3}$ và ∆₂: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+4}{-3}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm M₁(−3; 2; 1) và có $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2; −3) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm M₂(1; −2; −4) và có $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2; −3) là vectơ chỉ phương.

Nhận thấy $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{u_2}$ nên chúng cùng phương.

$\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = (4; −4; −5) và $\frac{1}{4}\ne \frac{2}{-4}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ không cùng phương.

Vậy ∆₁ // ∆₂.

Ví dụ 2.  Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=-5+5t\\ y=-2+3t\\ z=3-2t\end{array}\right.$ và d₂: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(−5; −2; 3) và $\overrightarrow{u_1}$ = (5; 3; −2) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(1; −4; 0) và $\overrightarrow{u_2}$ = (1; −2; 3) là vectơ chỉ phương.

Ta có: $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = (6; −2; −3).

           $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 5\\ 3& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ 1& -2\end{array}\right|\right)$ = (5; −17; − 13).

Do $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = 5 . 6 + (−17) . (−2) + (−13) . (−3) = 103 ≠ 0 nên $\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \overrightarrow{M_1{M}_2}$ không đồng phẳng.

Vậy d₁ và d₂ chéo nhau.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: $\frac{x-9}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{3}$ và d₂: $\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+3}{-3}$.

b) d₁: $\frac{x-7}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{4}$ và d₂: $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{4}$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+4}{3}$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+4t\\ z=2+6t\end{array}\right.$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) d1 và d2 trùng nhau.	Đ	S
d) d1 và d2 song song với nhau.	Đ	S
c) (d1, d2) = 0°.	Đ	S
d) d1 và d2 cắt nhau.	Đ	S

Bài 3. Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ dưới đây:

a) d₁: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$, d₂: $\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{x+2}{1}$.

b) d₁: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1}$, d₂: $\frac{x}{-2}=\frac{y+8}{3}=\frac{z-4}{1}$.

c) d₁: $\frac{x-2}{4}=\frac{y}{-6}=\frac{z+1}{-6}$, d₂: $\frac{x-7}{-6}=\frac{y-2}{-9}=\frac{z}{12}$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=3+4t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+s\\ y=-1+s\\ z=4s\end{array}\right.$.

Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng d₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng d₂ trùng với đường thẳng d₃: $\frac{x+2}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+4}{4}$.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2s\\ y=-2+2s\\ z=4+s\end{array}\right.$.

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d₁ và d₂.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

• Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu

---