Công thức tính tích có hướng của hai vectơ (siêu hay)

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

• Ta có định lí sau:

Cho hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) không cùng phương.

Khi đó, vectơ $\vec{w}$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – x₂y₁) vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

• Nhận xét:

+ Vectơ $\vec{w}$ trong định lí trên được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu là $\vec{w} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.

Khi đó, với hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ta có:

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

+ Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ $\vec{w} = [\vec{u}, \vec{v}]$ ≠ $\vec{0}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ = (1; 2; 3) và $\vec{v}$ = (3; −2; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

Vậy $\vec{w}$ = (14; 5; −8) khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}$ = (1; 0; 3) và $\vec{b}$ = (0; −2; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{c}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

Vậy $\vec{c}$ = (6; −5; −2) khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ = (1; 2; −3) và $\vec{v}$ = (−3; −2; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}$ = (2; 0; 5) và $\vec{b}$ = (3; −2; −5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{c}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}$ = (−1; −2; 3) và $\vec{b}$ = (4; −2; 7). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ = (0; 4; −3) và $\vec{v}$ = (−3; 0; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Bài 5. Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau:

a) $\vec{a}$ = (1; −2; 0) và $\vec{b}$ = (0; −2; 3).

b) $\vec{u}$ = (0; 4; −2) và $\vec{v}$ = (−3; 5; 4).

c) $\vec{a}$ = (0; −2; 5) và $\vec{b}$ = (4; 1; 3).

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official