Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số hay, nhanh nhất (siêu hay)

Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số hay, nhanh nhất (siêu hay)

Với loạt bài Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Bài viết Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số Toán 12.

1. Lí thuyết.

- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Điểm M(x₀, f(x₀)) ∈ (C). Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀. Kí hiệu f^'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M.

- Phương trình tiếp tuyến Δ

Δ: y = f^'(x₀).(x - x₀) + f(x₀)

- Điều kiện tiếp xúc của f(x) và g(x) là hệ  có nghiệm.

2. Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

- Xác định tiếp điểm M(x₀, f(x₀)) 

- Tính f^'(x₀)

- Tiếp tuyến có dạng Δ: y = f^'(x₀).(x - x₀) + f(x₀)

                   

3. Một số dạng toán

a. Tiếp tuyến đi qua tiếp điểm thuộc đồ thị

- Làm theo các bước của phần 2.

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 2x² + 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

- Tọa độ tiếp điểm M(2,1) 

y^' = 3x² - 4x => y^'(2) = 4 

Phương trình tiếp tuyến Δ: y = 4(x - 2) + 1 ⇔ Δ: y = 4x - 7

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² - 2x + 1 tại điểm có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Tọa độ tiếp điểm M (3,4) và N (-1,4) 

- Gọi Δ₁ là phương trình tiếp tuyến tại M

Δ₂ là phương trình tiếp tuyến tại N

Ta có: y^' = 2x - 2 =>

b. Tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước (biết trước hệ số góc của tiếp tuyến)

- Bài toán cho hệ số góc của tiếp tuyến là k

+ Giải phương trình f^'(x₀) = k => M(x₀, f(x₀))

+ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến qua M

- Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d₁ có hệ số góc k₁ thì k = k₁

   Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d₂ có hệ số góc k₂ thì k.k₂ = -1

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến với y = x³ - 9x² + 1 trong các trường hợp sau:

a. Hệ số góc của tiếp tuyến là -27

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 21x - 244

Lời giải:

a. Gọi hoành độ tiếp điểm là x₀

Giải phương trình f^'(x₀) = -27 ⇔ 3x₀² - 18x₀ = -27 ⇔ x₀ = 3

Suy ra tiếp điểm M(3,-53)

Vậy phương trình tiếp tuyến là Δ : y = -27(x-3) - 53 ⇔ Δ: y= -27x + 28

b. Gọi phương trình tiếp tuyến là Δ^'. Do Δ^' // d nên hệ số góc của Δ^' là 21

Gọi hoành độ tiếp điểm là x₀. Giải phương trình f^'(x₀) = 21 ⇔

Với x₀ = -1 ta được tiếp điểm là M(-1,-9) => Δ^': y = 21x + 12

Với x₀ = 7 ta được tiếp điểm là N(7,-97) M(-1,-9) => Δ^': y = 21x - 244. Tuy nhiên đường thẳng này lại trùng với d nên loại

Vậy phương trình tiếp tuyến là Δ^': y = 21x + 12

4. Luyện tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x² - 2x

a. Tại điểm có hoành độ là -1

b. Tại điểm có tung độ là 8 

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  tại điểm có hoành độ là 2.

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² - 3 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x - 1

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x³ + 3x² - 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x² - 6x + 3. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2,10)

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

---