Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng - Toán lớp 12
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.
Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng - Toán lớp 12
1. Công thức
a) Điều kiện song song của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P1) có phương trình tổng quát là A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và mặt phẳng (P2) có phương trình tổng quát là A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Gọi = (A1; B1; C1), = (A2; B2; C2) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1), (P2).
Khi đó (P1) // (P2) khi và chỉ khi tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho .
b) Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P1) có phương trình tổng quát là A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và mặt phẳng (P2) có phương trình tổng quát là A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Khi đó:
(P1) ⊥ (P2) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
(P): 2x – 3y + z + 4 = 0 và (Q): x – y + z + 1 = 0.
Hỏi (P) và (Q) có song song với nhau hay không?
Hướng dẫn giải
Các mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến tương ứng là = (2; – 3; 1), .
Do và nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y + z + 12 = 0.
Hướng dẫn giải
Nhận thấy M ∉ (Q).
Vì (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp tuyến = (2; 1; 1).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M có vectơ pháp tuyến là:
2(x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = 0 hay 2x + y + zt – 7 = 0.
Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + z + 2 = 0 và (Q): 4x + 3y + 4z – 1 = 0. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q).
Hướng dẫn giải
Ta có hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là:
= (2; −4; 1), = (4; 3; 4).
Ta có: = 2.4 + (−4).3 + 1.4 = 0.
Vậy (P) ⊥ (Q).
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; −4) và song song với mặt phẳng (Q): 3x – 5y + 4z – 21 = 0.
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng (P): 3x – y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với (P).
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(2; 3; 1) và vuông góc với (Q): x + 2y – z = 0.
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điềm A(3; −1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 4z + 2017 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điềm A(1; −1; −2) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Đề thi lớp 1 (các môn học)
- Đề thi lớp 2 (các môn học)
- Đề thi lớp 3 (các môn học)
- Đề thi lớp 4 (các môn học)
- Đề thi lớp 5 (các môn học)
- Đề thi lớp 6 (các môn học)
- Đề thi lớp 7 (các môn học)
- Đề thi lớp 8 (các môn học)
- Đề thi lớp 9 (các môn học)
- Đề thi lớp 10 (các môn học)
- Đề thi lớp 11 (các môn học)
- Đề thi lớp 12 (các môn học)
- Giáo án lớp 1 (các môn học)
- Giáo án lớp 2 (các môn học)
- Giáo án lớp 3 (các môn học)
- Giáo án lớp 4 (các môn học)
- Giáo án lớp 5 (các môn học)
- Giáo án lớp 6 (các môn học)
- Giáo án lớp 7 (các môn học)
- Giáo án lớp 8 (các môn học)
- Giáo án lớp 9 (các môn học)
- Giáo án lớp 10 (các môn học)
- Giáo án lớp 11 (các môn học)
- Giáo án lớp 12 (các môn học)