Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng (siêu hay)

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng (siêu hay)

Quảng cáo

1. Công thức

a) Điều kiện song song của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Gọi $\vec{n_{1}}$ = (A₁; B₁; C₁), $\vec{n_{2}}$ = (A₂; B₂; C₂) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂).

Khi đó (P₁) // (P₂) khi và chỉ khi tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases}$ .

b) Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Khi đó:

(P₁) ⊥ (P₂) ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(P): 2x – 3y + z + 4 = 0 và (Q): $2 \sqrt{3}$ x – $3 \sqrt{3}$ y + $\sqrt{3}$ z + 1 = 0.

Hỏi (P) và (Q) có song song với nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Các mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec{n_{(P)}}$ = (2; – 3; 1), $\vec{n_{(Q)}} = (2 \sqrt{3}; - 3 \sqrt{3}; \sqrt{3})$ .

Do $\vec{n_{(Q)}} = \sqrt{3} \cdot \vec{n_{(P)}}$ và $1 \neq \sqrt{3} \cdot 4$ nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y + z + 12 = 0.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy M ∉ (Q).

Vì (P) // (Q) nên (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (2; 1; 1).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ là:

2(x – 1) + (y – 2) + (z – 3) = 0 hay 2x + y + zt – 7 = 0.

Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + z + 2 = 0 và (Q): 4x + 3y + 4z – 1 = 0. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q).

Hướng dẫn giải

Ta có hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n_{P}}$ = (2; −4; 1), $\vec{n_{Q}}$ = (4; 3; 4).

Ta có: $\vec{n_{P}} . \vec{n_{Q}}$ = 2.4 + (−4).3 + 1.4 = 0.

Vậy (P) ⊥ (Q).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; −4) và song song với mặt phẳng (Q): 3x – 5y + 4z – 21 = 0.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng (P): 3x – y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với (P).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(2; 3; 1) và vuông góc với (Q): x + 2y – z = 0.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điềm A(3; −1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 4z + 2017 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điềm A(1; −1; −2) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P).

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official