Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ (siêu hay)

Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ (siêu hay)

1. Công thức

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂);

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ = (x₁ − x₂; y₁ − y₂; z₁ − z₂);

$m\overrightarrow{u}$ = (mx₁; my₁; mz₁) với m ∈ ℝ.

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ($\overrightarrow{v}$ ≠ 0) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực m sao cho $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=m{x}_2\\ y_1=m{y}_2\\ z_1=m{z}_2\end{array}\right.$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{a}$ = (3; 5; −1), $\overrightarrow{b}$ = (0; 6; −2), $\overrightarrow{c}$ = (2; 3; 4). Tính tọa độ của các vectơ sau:

a) $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$;

b) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) 3$\overrightarrow{a}$ = (3.3; 3.5; 3.(−1)) = (9; 15; −3); 2$\overrightarrow{b}$ = (2.0; 2.6; 2.(−2)) = (0; 12; −4).

    3$\overrightarrow{a}$ − 2$\overrightarrow{b}$ = (9 – 0; 15 – 12; −3 – (−4)) = (9; 3; 1).

Vậy 3$\overrightarrow{a}$ − 2$\overrightarrow{b}$ = (9; 3; 1).

b) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (3 + 0; 5 + 6; −1 + (−2)) = (3; 11; −3); 2$\overrightarrow{c}$ = (2.2; 2.3; 2.4) = (4; 6; 8).

    $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ = (3 – 4; 11 – 6; −3 – 8) = (−1; 5; –11).

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ = (−1; 5; –11).

Ví dụ 2. Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; −5; 3), $\overrightarrow{b}$ = (0; 2; −1), $\overrightarrow{c}$ = (1; 7; 2).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$;

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

4$\overrightarrow{a}$ = (4.2; 4.(−5); 4.3) = (8; −20; 12);

$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}=\left(\frac{1}{3}.0;\frac{1}{3}.2;\frac{1}{3}.(-1)\right)=\left(0;\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$;

3$\overrightarrow{c}$ = (3.1; 3.7; 3.2) = (3; 21; 6).

Do đó, $4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ = $\left(8;\frac{-62}{3};\frac{37}{3}\right)$ ⇒ $4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$ = $\left(11;\frac{1}{3};\frac{55}{3}\right)$.

Vậy $\overrightarrow{d}=\left(11;\frac{1}{3};\frac{55}{3}\right)$.

b) 4$\overrightarrow{b}$ = (0; 8; −4); 2$\overrightarrow{c}$ = (2; 14; 4).

Do đó, $\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ = (2 – 0; −5 – 8; 3 – (−4)) = (2; −13; 7) ⇒ $\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ = (0; −27; 3).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}$ = (3; −5; −1), $\overrightarrow{b}$ = (0; 6; −2), $\overrightarrow{c}$ = (2; −3; 4). Tính tọa độ của các vectơ sau:

a) $3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$;

b) $\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.

Bài 2. Cho $\overrightarrow{a}$ = (7; −5; 3), $\overrightarrow{b}$ = (5; 2; −3), $\overrightarrow{c}$ = (−3; 1; 2). Tính:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$;

b) $\overrightarrow{v}=-5\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$;

c) $|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$.

Bài 3. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ = (0; 1; 3), $\overrightarrow{b}$ = (−2; 3; 1), $\overrightarrow{c}$ = (2; −3; 4) và $\overrightarrow{d}$ = (3; −1; m).

a) Tìm m để $\overrightarrow{f}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ vuông góc với $\overrightarrow{d}$;

b) Tìm m để $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{f}-2\overrightarrow{c}$ vuông góc với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{d}+2\overrightarrow{a}$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{i}=13\overrightarrow{k}+10\overrightarrow{j}$; $\overrightarrow{NO}+9\overrightarrow{k}=7\overrightarrow{i}+23\overrightarrow{j}$. Khi đó tọa độ điểm M(a; b; c) và N(x; y; z). Tính T = ax + by + cz.

Bài 5.

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{k}+2\overrightarrow{j}$ và

$\overrightarrow{b}$ = (m – 3n; 4m + 5n; m² + 2n) với m, n ∈ ℝ.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

a) $\overrightarrow{a}$ = (5; 3; 2).	Đ	S
b) Nếu $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ thì A(5; 2; 3).	Đ	S
c) Nếu $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ thì m + n = 2.	Đ	S
d) Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì m2 + n2 = 5.	Đ	S

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tọa độ trung điểm

• Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

---