Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ (siêu hay)

Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ (siêu hay)

1. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) qua trục

- Thiết diện nhận được là một hình chữ nhật.

Diện tích thiết diện:  S_ABCD = BC.CD =2r.h

2. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song và cách trục một khoảng x, 

Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD như hình trên.

Gọi H là trung điểm CD ta có OH ⊥ CD=> CD=

Do đó diện tích thiết diện S_ABCD =CD.BC= 

3. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục.

Thiết diện tạo thành là hình tròn tâm O’ bán kính O'A'=r

 Diện tích thiết diện: S= πr²

4. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh của hình trụ.

Thiết diện tạo thành là Elip (E) có trục nhỏ 2r => a=r

Trục lớn bằng  với  là góc giữa trục OI với (P)

Do đó diện tích S= π. a.b=

5. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hình trụ có bán kính r, chiều cao h. Biết thiết diện qua trục là hình vuông có diện tích là 36. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Lời giải:

Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình.

Theo bài ta có: AB²=36 => AB=6 =>

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là S_xq = 2π.rh  =36π

Ví dụ 2. Cho hình trụ có bán kính bằng 5cm và chiều cao bằng 12cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình trụ.

Lời giải:

Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD như hình

Gọi H là trung điểm CD. Khi đó khoảng cách từ (P) tới trục là OH= 3cm

Theo Pytago ta có:CH==4=>  CD=8 cm

Do đó diện tích thiết diện là S=8.12=96cm².

Ví dụ 3. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 lần bán kính đáy và thể tích khối trụ là 192 π Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) tạo với trục góc 60°  . Khi đó (P) tạo với hình trụ thiết diện là một hình Elip. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

Ta có: h=3r

Thể tích khối trụ là V=πr²h=3πr192π => r=4

Elip (E) có trục nhỏ bằng 2r=8 => a=4

Trục lớn bằng 

Do đó diện tích (E) là S=π.a.b= 

6. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy cùa hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB'A'.

Bài 2. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$. Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α).

Bài 3. Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h = 20cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Tính cạnh của hình vuông.

Bài 4. Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Tính diện tích của bề mặt nước trong cốc.

Bài 5. Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có chu vi là 8a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.

Bài 6. Cho hình trụ có bán kính bằng 3cm và chiều cao bằng 10 cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (α) song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1 cm. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (α) và hình trụ.

Bài 7. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.

Bài 8. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 lần bán kính đáy và thể tích khối trụ là 256π. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng (P) tạo với trục góc 60°. Khi đó (P) tạo với hình trụ thiết diện là một hình Elip. Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 9. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh R. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

Bài 10. Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung điểm I của OO′ và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30°. Tính diện tích của thiết diện do (P) cắt khối trụ.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt

• Công thức tính bán kính của hình nón

• Công thức tính đường sinh của hình nón

• Công thức tính diện tích hình nón

• Công thức tính thể tích khối nón

---