Công thức giải phương trình mũ (siêu hay)

Công thức giải phương trình mũ hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức giải phương trình mũ (siêu hay)

1. Phương trình mũ cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b ( a > 0, a ≠ 1)

- Cách giải:                                                          

+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa lôgarit:                   

Nếu b ≤ 0 phương trình vô nghiệm

Nếu b ≥ 0  phương trình có nghiệm duy nhất x = log _a b

+ Cách 2: Sử dụng đồ thị hàm số mũ

Giao điểm của đồ thị hàm số y = a^x và đường thẳng y = b là nghiệm của phương trình a^x = b

- Nhìn vào đồ thị ta thấy rõ ràng:

Khi b ≤ 0 thì 2 đồ thị không cắt nhau tức phương trình vô nghiệm

Khi b > 0 hai đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất x = log _a b

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1; x = 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2/3

b. Đặt ẩn phụ 

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a. 4^x – 3.2^x + 2 = 0

b. 9^x+1 – 6. 3^{x – 1} – 7 = 0

c. 4.9^x + 12^x – 3.16^x = 0

Lời giải:

a. 4^x – 3.2^x + 2 = 0 ⇒ (2^x)² – 3.2^x + 2 = 0

Đặt t = 2^x, (t > 0). Phương trình trở thành 

Với t = 1 ⇒ 2^x = 1 ⇒ x = 0

Với t = 2 ⇒ 2^x = 2 ⇒ x = 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0, x = 1

Đặt t = 3^x, (t > 0). Phương trình trở thành:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. 4.9^x + 1.2^x - 3.16^x = 0 ⇔ 4.$\left(\frac{9}{16}\right)$^x + 4.$\left(\frac{12}{16}\right)$^x - 3 = 0

⇔ $4.{\left[{\left(\frac{3}{4}\right)}^x\right]}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ - 3 = 0

Đặt t = ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x$, (t > 0). Phương trình trở thành:

4t² + t – 3 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-1\left(L\right)\\ t=\frac{3}{4}\left(TM\right)\end{array}\right.$ ⇔ t = $\frac{3}{4}$.

Với t = $\frac{3}{4}$ ⇒ ${\left(\frac{3}{4}\right)}^x=\frac{3}{4}$ ⇔ x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. Lôgarit hóa (lôgarit 2 vế)

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau

Lời giải:

a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = - log₃ 2;

b. Điều kiện: x  ≠ -2

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 4; x = -2 – log₃ 2

d. Đánh giá hàm số

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau

Lời giải:

a. Xét hàm số:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 

b. 9^x + 2(x – 2).3^x + 2x – 5 = 0 ⇒ (3^x)² + 2(x – 2).3^x + 2x – 5 = 0

Đặt t = 3^x, (t > 0). Phương trình trở thành:

t² + 2(x – 2)t + 2x – 5 = 0

a = 1; b = 2x – 4; c = 2x – 5 ⇒  a – b + c = 0

Do đó phương trình có nghiệm 

       , 

Xét hàm số: f(x) = 3^x + 2x - 5

Ta có: f’(x) = 3^x.ln3 + 2 > 0 Do vậy f(x) đồng biến.

Do vậy với x < 1 ⇒ f(x) < f(1) = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. 3^{2x – 1} + 9^x = 108

b. 25^x – 5^x – 56 = 0

c. 5^2x – 7^x + 7^x.17 – 5^2x.17 = 0

Bài 3. Giải các phương trình sau:

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a. 2^-x = 3x + 10

b. 3^x = 11 - x

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a. 3.4^x – 2.6^x = 9^x

b. 2^x – 3.2^-x = 2

c. -8^x + 2.4^x + 2^x – 2 = 0

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức lũy thừa

• Công thức giải bất phương trình mũ

• Công thức giải phương trình lôgarit

• Công thức giải bất phương trình lôgarit

• Công thức tính trả góp vay vốn

---