Công thức giải phương trình lôgarit (siêu hay)

Công thức giải phương trình lôgarit (siêu hay)

Công thức giải phương trình lôgarit hay nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Định nghĩa

- Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log_a x = b ( a > 0, a ≠ 1)

Theo định nghĩa lôgarit ta có: log_a x = b ⇔ x = a^b

Minh họa bằng đồ thị

Ta vẽ đồ thị hàm số y = log_a x và đường thẳng y = b trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy: Trong cả hai trường hợp thì đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b ∈ R. 

Vậy ta có kết luận sau:

Phương trình   luôn có nghiệm duy nhất

- Chú ý: Khi giải một phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x 

2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản

a. Đưa về cùng cơ số

- Áp dụng một số tính chất của lôgarit:

log_a (x.y) = log_a x + log_a y                            

log_a b^α = α.log_a b

Ví dụ1. Giải các phương trình sau:

a. log₃ x + log₉ x = 6

b. log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11

c. ln(2x² – x ) – lnx = ln3

Lời giải:

a. log₃ x + log₉ x = 6. Điều kiện x > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 81

b. log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11. Điều kiện x > 0

         

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 64

c. ln(2x² – x) – lnx = ln3. 

Điều kiện X > 1/2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

b. Đặt ẩn phụ

Ví dụ2. Giải các phương trình sau

Lời giải:

Với t = 1 ⇒ log₂ x = 1⇔ x = 2

Với t = 2 ⇒ log₂ x = 2 ⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x = 4

Điều kiện x > 0; log x ≠ 3; log x ≠ -1

Đặt t = log x, t ≠ {-1;3}. Phương trình trở thành:

Với t = 1 ⇒ log x = 1 ⇔ x = 10 

Với t = 2 ⇒ log x = 2 ⇔ x = 100

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 10; x = 100

c. 1 + 2log₅₊₂ 5 = log₅ (x + 2).

Điều kiện x > -2 ; x ≠ - 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -9/5; x = 23

c. Mũ hóa.

Ví dụ3. Giải các phương trình sau:

a. log₂ (5 – 2^x) = 2 - x

b. log₃ ( 2 – 9^x) = x

c. x^{log 9} + 9^{log x} = 6

Lời giải:

a. Log₂ (5 – 2^x) = 2 – x.

Điều kiện 5 – 2^x > 0 ⇔ 2^x < 5 ⇔ x < log₂ 5

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = 2

b. log₃ (2 – 9^x) = x. Điều kiện x < log₉ 2x

Phương trình ⇔ 2 – 9^x = 3^x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

c. x^log9 + 9^{log x} = 6. Điều kiện x > 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

d. Đánh giá hàm số

Ví dụ4. Giải các phương trình sau:

a. log₃ x = -x + 11

Lời giải:

a. log₃ x = -x + 11. Điều kiện x > 0

Xét hàm số f(x) = log₃ x + x -11

Do vậy với 0 < x < 9 ⇒ f(x) < f(9) = 0

Với x > 9 ⇒ f(x) > f(9) = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 9

Mà f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 2

Với t = 2 ⇒ x = 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9

3. Luyện tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a. log₃ (5x + 3) = log₃ (7x + 5)

b. log(x – 1) – log(2x – 11) = log 2

c. log(x² – 6x + 7) = log (x – 3)

Bài 2. Giải các phương trình sau:

Bài 3. Giải các phương trình sau:

Bài 4. Giải các phương trình sau:

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức lũy thừa

• Công thức logarit

• Công thức tính lãi suất ngân hàng

• Công thức giải bất phương trình lôgarit

• Công thức tính trả góp vay vốn

---