Công thức Bayes (siêu hay)

Công thức Bayes Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức Bayes (siêu hay)

1. Công thức

Với hai biến số A, B mà P(A) > 0, P(B) > 0, ta có: P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A\right|B)}{P\left(A\right)}$.

Nhận xét:

Cho hai biến cố A, B với P(A) > 0, 0 < P(B) < 1. Do  

P(A) = P(B). P(A | B) + P($\overline{B}$).P(A | $\overline{B}$)

Nên công thức Bayes còn có dạng: P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A\right|B)}{P\left(B\right).P\left(A\right|B)+P(\overline{B}).P(A\left|\overline{B}\right)}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,2; P(B) = 0,8; P(A | B) = 0,21.

              Tính P(B | A).

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

P(B | A) = $\frac{P\left(B\right).P\left(A\right|B)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,8.0,21}}{\mathrm{0,2}}$ = $\frac{21}{25}$ = 0,84.

Ví dụ 2. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 99%, của máy thứ hai là 98%. Một lô gồm 40% sản phẩm của máy thứ nhất và 60% sản phẩm của máy thứ hai. Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểm tra thấy là sản phẩm tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”;

       B₁ là biến cố: “Sản phẩm do nhà máy thứ nhất sản xuất”;

       B₂ là biến cố: “Sản phẩm do nhà máy thứ hai sản xuất”.

Ta có: P(B₁) = 40% = 0,4; P(B₂) = 60% = 0,6.

           P(A | B₁) = 99% = 0,99; P(A | B₂) = 98% = 0,98.

           P(B₁ | A) = $\frac{P\left(B_1\right).P\left(A\right|B_1)}{P\left(B_1\right).P\left(A\right|B_1)+P(B_2).P(A\left|B_2\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,4.0,99}}{\mathrm{0,4.0,99}+\mathrm{0,6.0,98}}$ = $\frac{33}{82}$.

Vậy xác suất để lấy được sản phẩm tốt do nhà máy thứ nhất sản xuất là $\frac{33}{82}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tại một hội nghị có 70% là nam và 30% là nữ. Trong đó, 70% nam có bằng đại học; trong số nữ thì 60% có bằng đại học. Chọn ra 2 người thấy trong đó có một người có bằng đại học và một người không. Tính xác suất người có bằng đại học được chọn là nữ.

Bài 2. Hộp I có 3 bi trắng và 7 bi đen. Hộp II có 6 bi trắng và 4 bi đen. Bỏ hai viên bi ở hộp I sang hộp II. Sau đó lấy từ hộp II ra một viên bi.

a) Tính xác suất lấy được bi trắng.

b) Giả sử lấy được bi trắng, tính xác suất để lấy được bi trắng của hộp I.

Bài 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Một loại linh kiện do hai xưởng I và II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các xưởng I, II lần lượt là 0,04 và 0,03. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của xưởng I và 120 sản phẩm của xưởng II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện trong lô hàng đó.

Xét các biến cố:

A: “Linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm”.

B: “Linh kiện được lấy ra do xưởng I sản xuất”,

C: “Linh kiện được lấy ra do xưởng II sản xuất”.

a) P(A) = 0,966.	Đ	S
b) Xác suất để lấy được linh kiện không phải là phế phẩm là 0,966.	Đ	S
c) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do xưởng I sản xuất là $\frac{9}{17}$.	Đ	S
d) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do xưởng II sản xuất là $\frac{8}{17}$.	Đ	S

Bài 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Khảo sát thị lực của 100 học sinh khối 10, ta thu được kết quả như sau: Có 30 học sinh bị tật khúc xạ trong đó có 12 nữ, 18 nam và 70 học sinh không có tật khúc xạ trong đó có 38 nữ và 32 nam.

Xét các biến cố:

A: “Học sinh được chọn bị tật khúc xạ”.

B: “Học sinh được chọn là nữ”.

a) P(A) = 0,3; P(B) = 0,5.	Đ	S
b) P(AB) = 0,15.	Đ	S
c) P(A | B) = 0,24.	Đ	S
d) P(B | A) = 0,4.	Đ	S

Bài 5. Có 10 lọ hóa chất trong đó có 4 lọ loại I, 6 lọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất 0,9, nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất 0,5. Lấy ngẫu nhiên một lọ hóa chất để sử dụng.

a) Tìm xác suất để lọ hóa chất này có kết quả tốt.

b) Tìm xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính xác suất có điều kiện

• Công thức nhân xác suất

• Công thức xác suất toàn phần

---