Bài 7 trang 92 Toán 10 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) + Ta có

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{DB}\right)$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=\left(-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{DH}=-\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

 

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$

$=\left(-\overrightarrow{AH}\right)+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Do đó: 

$\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$.

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Hình 58 minh họa hai đoàn tàu chạy song song với vectơ vận tốc lần lượt là $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$ ....

• Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: : Gọi B là trung điểm của AC. (Hình 59) ....

• Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ với . ....

• Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b ....

• Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$ . ....

• Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ . ....

• Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ . ....

• Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$. ....

• Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . ....

• Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ ....

• Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Xác định điểm C thỏa mãn ....

• Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: ....

• Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). ....

• Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh: ....

• Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. ....

Các bài học để học tốt Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ:

• Giải SBT Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

  Xem lời giải

• Lý thuyết Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

  Xem chi tiết

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• Toán 10 Bài tập cuối chương 4

• Toán 10 Chủ đề 1: Đo góc

• Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

• Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---