Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Với Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 103.

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ;

b) $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) Áp dụng công thức ${\vec{u}}^{2} = {|\vec{u}|}^{2}$ .

Bình phương hai vế của đẳng phức $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ , ta được:

${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {(|\vec{a}| + |\vec{b}|)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} + 2 |\vec{a}| . |\vec{b}| + {|\vec{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 |\vec{a}| . |\vec{b}| + {\vec{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}|$

Mà $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Do đó: $|\vec{a}| . |\vec{b}| = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) \Leftrightarrow c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 1$

Suy ra: $(\vec{a}, \vec{b}) = 0 °$ hay hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

b) Bình phương hai vế của đẳng thức $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ , ta được:

${|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = {|\vec{a} - \vec{b}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {(\vec{a} - \vec{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$

Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $|\vec{a} + \vec{b}| = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Ta có: $|\vec{a} + \vec{b}| = 0 \Leftrightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} = - \vec{b}$ .

Khi đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Vậy $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vectơ AB = vectơ CD khi và chỉ khi trung điểm

+) Có $\vec{A B} = \vec{C D}$ , cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{J B} + \vec{J C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A J} = \vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}$

$\vec{I J} = \vec{I D} + \vec{D J} = \vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J}$

Suy ra: $\vec{I J} + \vec{I J} = (\vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}) + (\vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J})$

$= (\vec{I A} + \vec{I D}) + (\vec{A B} + \vec{D C}) + (\vec{B J} + \vec{C J})$

$= \vec{0} + (\vec{A B} + \vec{D C}) - (\vec{J B} + \vec{J C})$

$= (\vec{A B} + \vec{D C}) - \vec{0} = \vec{A B} + \vec{D C}$

Do đó: $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{I J}$ (1)

Mà $\vec{A B} = \vec{C D}$ nên $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{I J} = \vec{0}$

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A B} = \vec{A I} + \vec{I B}; \vec{C D} = \vec{C I} + \vec{I D}$

Suy ra: $\vec{A B} - \vec{C D} = (\vec{A I} + \vec{I B}) - (\vec{C I} + \vec{I D}) = (\vec{I B} + \vec{I C}) - (\vec{I A} + \vec{I D}) = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{C D}$

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Do ABIJ là hình bình hành nên $\vec{A J} = \vec{B I}$ .

Do BCPQ là hình bình hành nên $\vec{B Q} = \vec{C P}$ .

Do CARS là hình bình hành nên $\vec{R A} = \vec{S C}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = (\vec{R A} + \vec{A J}) + (\vec{I B} + \vec{B Q}) + (\vec{P C} + \vec{C S})$

$= (\vec{R A} + \vec{C S}) + (\vec{A J} + \vec{I B}) + (\vec{B Q} + \vec{P C})$

$= (\vec{S C} + \vec{C S}) + (\vec{B I} + \vec{I B}) + (\vec{C P} + \vec{P C})$

$= \vec{S S} + \vec{B B} + \vec{C C} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Vậy $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s

Lời giải:

Quan sát Hình 2, ta thấy:

Vectơ vận tốc thực của máy bay là $\vec{v_{1}}$ và $|\vec{v_{1}}| = 45$ m/s.

Vectơ vận tốc gió là $\vec{v_{2}}$ , ta cần tính $|\vec{v_{2}}|$ .

Vectơ vận tốc của máy bay so với mặt đất là $\vec{v}$ và $|\vec{v}| = 38$ m/s.

Góc giữa hai vectơ $\vec{v}$ và $\vec{v_{1}}$ là 20°.

Ta có: $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}} \Rightarrow \vec{v_{2}} = \vec{v} - \vec{v_{1}}$ (1)

Bình phương hai vế của (1), ta được:

${|\vec{v_{2}}|}^{2} = {(\vec{v} - \vec{v_{1}})}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{v_{2}}|}^{2} = {\vec{v}}^{2} - 2 \vec{v} . \vec{v_{1}} + {\vec{v_{1}}}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{v_{2}}|}^{2} = {|\vec{v}|}^{2} - 2. |\vec{v}| . |\vec{v_{1}}| . c o s (\vec{v}, \vec{v_{1}}) + {|\vec{v_{1}}|}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{v_{2}}|}^{2} = 38^{2} - 2 . 38 . 45 . c o s 20 ° + 45^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{v_{2}}|}^{2} \approx 255, 25$

Suy ra: $|\vec{v_{2}}| \approx 15, 98$ .

Vậy tốc độ của gió khoảng 15,98 m/s.

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$ .

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\vec{M K} + \vec{M G} = \vec{M A}; \vec{M H} + \vec{M J} = \vec{M B}; \vec{M I} + \vec{M L} = \vec{M C}$ (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \hat{M H L} = \hat{B} = 60 °$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \hat{M L H} = \hat{C} = 60 °$ (đồng vị)

Tam giác MHL có $\hat{M H L} = \hat{M L H} = 60 °$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\vec{M H} + \vec{M L} = 2 \vec{M D}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\vec{M K} + \vec{M J} = 2 \vec{M F}; \vec{M G} + \vec{M I} = 2 \vec{M E}$ .

Do đó: $2 \vec{M D} + 2 \vec{M E} + 2 \vec{M F} = \vec{M H} + \vec{M L} + \vec{M G} + \vec{M I} + \vec{M K} + \vec{M J}$

$= (\vec{M K} + \vec{M G}) + (\vec{M H} + \vec{M J}) + (\vec{M I} + \vec{M L})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

Do đó: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = 3 \vec{M O}$

Suy ra $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là 30° và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Một xe goòng được kéo bởi một lực F có độ lớn là 50 N

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là

A = $|\vec{F}| . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B})$ = 50 . 200 . cos30° = $5000 \sqrt{3}$ (J).

Góc tạo bởi lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{A B}$ là 90°, do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là

A₁ = $|\vec{F_{1}}| . A B . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{A B})$ = $|\vec{F_{1}}| .200. \cos 90 ° = 0$ (J).

Ta có: $|\vec{F_{2}}| = |\vec{F}| . \cos 30 ° = 50. \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}$ (N)

Hai vectơ $\vec{F_{2}}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng nên $(\vec{F_{2}}, \vec{A B}) = 0 °$ .

Do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là

A₂ = $|\vec{F_{2}}| . A B . \cos (\vec{F_{2}}, \vec{A B}) = 25 \sqrt{3} .200. \cos 0 ° = 5000 \sqrt{3}$ (J).

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ .

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s

Lời giải:

a) Vectơ $\vec{v_{1}}$ là vectơ vận tốc của thuyền so với dòng nước, do đó: $|\vec{v_{1}}| = 0, 75$ m/s.

Vectơ $\vec{v_{2}}$ là vectơ vận tốc của dòng nước so với bờ, do đó: $|\vec{v_{2}}| = 1, 20$ m/s.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

${|\vec{v}|}^{2} = {|\vec{v_{1}}|}^{2} + {|\vec{v_{2}}|}^{2} = {(0, 75)}^{2} + {(1, 20)}^{2} = 2, 0025$

Suy ra: $|\vec{v}| = \sqrt{2, 0025} = \frac{3 \sqrt{89}}{20}$ m/s.

b) Vectơ là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ nên tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là $|\vec{v}| = \frac{3 \sqrt{89}}{20}$ m/s.

c) Ta có: $c o s (\vec{v_{1}}, \vec{v}) = \frac{|\vec{v_{1}}|}{|\vec{v}|} = \frac{0, 75}{\frac{3 \sqrt{89}}{20}} = \frac{5 \sqrt{89}}{89}$ .

Suy ra $(\vec{v_{1}}, \vec{v}) \approx 58 °$ .

Vậy góc tạo bởi hướng dịch chuyển của thuyền so với bờ là θ = 90° – 58° = 32°.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Giải Toán 10 trang 102

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.