Bài 8 trang 121 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 4 - Cánh diều

Bài 8 trang 121 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho $\frac{AG}{AM}=\frac{A^{\text{'}}{G}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}K}{A^{\text{'}}B}=\frac{2}{3}$ .

a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).

d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính $\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a)

Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ B’C’.

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).

b)

Trong mp(A’BM’), xét $∆$A’BM’ có $\frac{A^{\text{'}}{G}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}K}{A^{\text{'}}B}=\frac{2}{3}$  nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).

c)

Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = $\frac{1}{2}$ BC = $\frac{1}{2}$ B’C’

Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

 Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có $\frac{AG}{AM}=\frac{A^{\text{'}}{G}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{2}{3}$  nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

           G’G // (BCC’B’);

           G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).

d)

Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

           JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:$\frac{C^{\text{'}}I}{A^{\text{'}}K}=\frac{IC}{KB}$

Suy ra $\frac{KB}{A^{\text{'}}K}=\frac{IC}{C^{\text{'}}I}$

Theo bài, $\frac{A^{\text{'}}K}{A^{\text{'}}B}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{A^{\text{'}}B}{A^{\text{'}}K}=\frac{3}{2}$  do đó $\frac{A^{\text{'}}B-A^{\text{'}}K}{A^{\text{'}}K}=\frac{3-2}{2}$  hay $\frac{KB}{A^{\text{'}}K}=\frac{1}{2}$

Vậy $\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{KB}{A^{\text{'}}K}=\frac{1}{2}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 4 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 120 Toán 11 Tập 1: Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. ....

• Bài 2 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? ..

• Bài 3 trang 120 Toán 11 Tập 1: Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. ....

• Bài 4 trang 120 Toán 11 Tập 1: Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi:A. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại. ....

• Bài 5 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC. ....

• Bài 6 trang 120 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau: ....

• Bài 7 trang 121 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng: ....

• Bài 9 trang 121 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’. ...

• Bài 10 trang 121 Toán 11 Tập 1: Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH....

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài tập cuối chương 4:

• Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 4

  Xem lời giải

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 4

  Xem chi tiết

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 4

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

• Toán 11 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

• Toán 11 Bài tập cuối chương 5

• Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

• Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---