Giải Toán 11 trang 108 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 108 Tập 1 trong Bài 4: Hai mặt phẳng song song Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 108.

Giải Toán 11 trang 108 Tập 1 Cánh diều

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng AB = A’B’.

Lời giải:

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A ∈ (R) và A ∈ (P) nên A là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

           A’  ∈ (R) và A’ ∈ (P) nên A’ là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q);

      (R) ∩ (P) = AA’;

      (R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{AB}{A{B}_1},\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}A};$$\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

               B­₁ ∈ (ACC’) và B₁ ∈ (Q) nên B₁ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB₁.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

           (ACC’) ∩ (Q) = BB₁;

           (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB₁ // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

                                                      (AA’C’) ∩ (P) = AA’;

                                                      (AA’C’) ∩ (Q) = B₁B’.

Suy ra B₁B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB₁ // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ ;

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Do đó $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét $∆$AA’C’có: B₁B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ ;

• $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

•  $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$và $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$.

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Vậy $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay khác:

• Giải Toán 11 trang 105
• Giải Toán 11 trang 106
• Giải Toán 11 trang 109

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

• Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

• Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

• Toán 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

• Toán 11 Bài tập cuối chương 4

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---