Giải Toán 11 trang 98 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 11 trang 98 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 9 Toán 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 98.

Giải Toán 11 trang 98 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.26 trang 98 Toán 11 Tập 2: Xét hàm số lũy thừa y = x^α với α là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết y = x^α = e^αlnx, tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Lời giải:

a)

Hàm số lũy thừa y = x^α với α là số thực có tập xác định khác nhau, phụ thuộc vào α:

+ Nếu α nguyên dương thì tập xác định là ℝ.

+ Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì tập xác định là ℝ\{0}.

+ Nếu α không nguyên thì tập xác định là (0; +∞).

b) Ta có

y' = (x^α)' = (e^αlnx)' = (α.lnx)' e^αlnx = $\frac{\alpha }{x}{e}^{\alpha \ln x}=\frac{\alpha }{x}.x^{\alpha }$ = αx^α–1.

Bài 9.27 trang 98 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\sqrt{3x+1}$ . Đặt g(x) = f(1) + 4(x² – 1).f'(1). Tính g(2).

Lời giải:

Với x>-$\frac{1}{3}$, ta có: f'(x) = $\frac{{\left(3x+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ .

Do đó, f(1) = $\sqrt{3.1+1}$ = 2, f'(1) = $\frac{3}{2\sqrt{3.1+1}}$ = $\frac{3}{4}$ .

Vậy g(2) = f(1) + 4(2² – 1).f'(1) = 2 + 12.$\frac{3}{4}$ = 11.

Bài 9.28 trang 98 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $\frac{x+1}{x-1}$ . Tính f''(0).

Lời giải:

Với x ≠ 1, ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(x+1\right)}^{\text{'}}.\left(x-1\right)-\left(x+1\right).{\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}$ ;

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=\left(-2\right).\frac{-2\left(x-1\right).{\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{4}{{\left(x-1\right)}^3}$.

Khi đó, ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{4}{{\left(0-1\right)}^3}=-4$ .

Bài 9.29 trang 98 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và f'(x) = x²f(x) với mọi x. Tính f''(1).

Lời giải:

Ta có f''(x) = (x²)' . f(x) + x² . f'(x) = 2xf(x) + x²f'(x).

Vì f(1) = 2 nên f'(1) = 1² . f(1) = 1 . 2 = 2.

Suy ra f''(1) = 2 . 1 . f(1) + 1² . f'(1) = 2 . 2 + 2 = 6.

Bài 9.30 trang 98 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 1 tại điểm có hoành độ bằng 1.

Lời giải:

Ta có: y' = 3x² + 6x ⇒ y'(1) = 3 . 1² + 6 . 1 = 9.

Ngoài ra, f(1) = 1³ + 3 . 1² – 1 = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – 3 = 9(x – 1) hay y = 9x – 6.

Bài 9.31 trang 98 Toán 11 Tập 2: Đồ thị của hàm số y = $\frac{a}{x}$ (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.

Lời giải:

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-a}{x^2}$ .

Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ x₀ (x₀ ≠ 0) là

$y-\frac{a}{x_0}=\frac{-a}{{x_0}^2}\left(x-x_0\right)hayy=\frac{-a}{{x_0}^2}x+\frac{2a}{x_0}$.

Giả sử phương trình tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B.

Khi đó, $A\left(0;\frac{2a}{x_0}\right),B\left(2x_0;0\right)$ .

Do đó diện tích tam giác OAB bằng: $\frac{1}{2}$OA.OB = $\frac{1}{2}$ = 2a không đổi (do a là hằng số dương).

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Bài 9.32 trang 98 Toán 11 Tập 2: Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Lời giải:

Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng đạo hàm của hàm vị trí là hàm vận tốc, đạo hàm của hàm vận tốc là hàm gia tốc và một hàm số đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên một khoảng nào đó nếu đạo hàm của nó dương (tương ứng âm) trên khoảng đó.

Từ hình vẽ ta thấy: Hàm số c luôn đồng biến, tức là đạo hàm của nó phải luôn không âm, do đó hàm số b là đạo hàm của hàm số c; hàm số b đồng biến trên khoảng mà hàm số a dương và nghịch biến trên khoảng mà hàm số a âm, do đó hàm số a là đạo hàm của hàm số b.

Vậy hàm số a là hàm gia tốc, hàm số b là hàm vận tốc và hàm số c là hàm vị trí của ô tô.

Bài 9.33 trang 98 Toán 11 Tập 2: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s = f(t) = t³ – 6t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

Lời giải:

a) Ta có: v(t) = s'(t) = 3t² – 12t + 9.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là v(2) = 3 . 2² – 12 . 2 + 9 = –3 (m/s).

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là v(4) = 3 . 4² – 12 . 4 + 9 = 9 (m/s).

b) Khi vật đứng yên ta có: v(t) = 0 ⇔ 3t² – 12t + 9 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3.

Vậy tại thời điểm 1 giây hoặc 3 giây thì vật đứng yên.

c) Ta có: a(t) = s''(t) = 6t – 12.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là a(4) = 6 . 4 – 12 = 12 (m/s²).

d) Ta có khi t = 1 hoặc t = 3 thì vật đứng yên.

Do đó, ta cần tính riêng rẽ quãng đường vật đi được trong từng khoảng thời gian [0; 1], [1; 3], [3; 5].

Ta có: f(0) = 0³ – 6 . 0² + 9 . 0 = 0; f(1) = 1³ – 6 . 1² + 9 . 1 = 4;

f(3) = 3³ – 6 . 3² + 9 . 3 = 0; f(5) = 5³ – 6 . 5² + 9 . 5 = 20.

Từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 1 giây, vật đi được quãng đường là:

|f(1) – f(0)| = |4 – 0| = 4 (m).

Từ thời điểm t = 1 giây đến thời điểm t = 3 giây, vật đi được quãng đường là:

|f(3) – f(1)| = |0 – 4| = 4 (m).

Từ thời điểm t = 3 giây đến thời điểm t = 5 giây, vật đi được quãng đường là:

|f(5) – f(3)| = |20 – 0| = 20 (m).

Tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là 4 + 4 + 20 = 28 (m).

e)

Xét a(t) = 0, tức là 6t – 12 = 0 ⇔ t = 2.

Với t ∈ [0; 2) thì gia tốc âm, tức là vật giảm tốc.

Với t ∈ (2; 5] thì gia tốc dương, tức là vật tăng tốc.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

• Giải Toán 11 trang 97

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

• Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

• Toán 11 Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Toán 11 Hoạt động thực hành trải nghiệm Hình học

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---