Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Cánh diều

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\vec{n} = (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M₀(2; 3; 4). Gọi H(x_H; y_H; z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm M₀ trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

Quảng cáo

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

a) Tính tọa độ của $\vec{H M_{0}}$ theo x_H, y_H, z_H.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n} = (A; B; C), \vec{H M_{0}}$ . Từ đó, hãy suy ra rằng

$|\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|$ .

c) Tính các độ dài $|\vec{n}|, |\vec{H M_{0}}|$ theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $\vec{H M_{0}} = (2 - x_{H}; 3 - y_{H}; 4 - z_{H})$ .

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của M₀ trên mặt phẳng (P) nên HM₀ ⊥ (P).

Vectơ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM₀ và giá của vectơ $\vec{n}$ song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ $\vec{n}, \vec{H M_{0}}$ cùng phương.

Suy ra $|\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}|$

= |A(2 – x_H) + B(3 – y_H) + C(4 – z_H)|

= |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– Ax_H – By_H – Cz_H)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

Ax_H + By_H + Cz_H + D = 0, suy ra D = – Ax_H – By_H – Cz_H. (2)

Thay (2) và (1) ta được $|\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}|$ = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.

c) Ta có $|\vec{n}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$ .

Từ câu b) suy ra $|\vec{H M_{0}}| = \frac{|A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|}{|\vec{n}|} = \frac{|A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Vậy d(M₀, (P)) = $|\vec{H M_{0}}| = \frac{|A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official