Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Cánh diều

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\vec{n} = (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M₀(2; 3; 4). Gọi H(x_H; y_H; z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm M₀ trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

Quảng cáo

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

a) Tính tọa độ của $\vec{H M_{0}}$ theo x_H, y_H, z_H.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{n} = (A; B; C), \vec{H M_{0}}$ . Từ đó, hãy suy ra rằng

$|\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|$ .

c) Tính các độ dài $|\vec{n}|, |\vec{H M_{0}}|$ theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $\vec{H M_{0}} = (2 - x_{H}; 3 - y_{H}; 4 - z_{H})$ .

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của M₀ trên mặt phẳng (P) nên HM₀ ⊥ (P).

Vectơ $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM₀ và giá của vectơ $\vec{n}$ song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ $\vec{n}, \vec{H M_{0}}$ cùng phương.

Suy ra $|\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}|$

= |A(2 – x_H) + B(3 – y_H) + C(4 – z_H)|

= |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– Ax_H – By_H – Cz_H)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

Ax_H + By_H + Cz_H + D = 0, suy ra D = – Ax_H – By_H – Cz_H. (2)

Thay (2) và (1) ta được $|\vec{n}| \cdot |\vec{H M_{0}}| = |\vec{n} \cdot \vec{H M_{0}}|$ = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.

c) Ta có $|\vec{n}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$ .

Từ câu b) suy ra $|\vec{H M_{0}}| = \frac{|A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|}{|\vec{n}|} = \frac{|A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 4 + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .