Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Giải Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm tọa độ của các điểm:

Quảng cáo

a) M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

• O là trung điểm của MM';

• MM" vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM".

• MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải:

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) +) Vì O là trung điểm của MM' nên

$\{\begin{cases} x_{M^{'}} = 2 x_{O} - x_{M} \\ y_{M^{'}} = 2 y_{O} - y_{M} \\ z_{M^{'}} = 2 z_{O} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{M^{'}} = 2.0 - 2 \\ z_{M^{'}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{'}} = - 1 \\ y_{M^{'}} = - 2 \\ z_{M^{'}} = - 3 \end{cases}$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H $\in$ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có $\vec{M H} = (x - 1; y - 2; - 3)$ .

Vì MH $⊥$ (Oxy) $\Rightarrow \{\begin{cases} M H ⊥ O x \\ M H ⊥ O y \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{M H} . \vec{i} = 0 \\ \vec{M H} . \vec{j} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

$\{\begin{cases} x_{M^{''}} = 2 x_{H} - x_{M} \\ y_{M^{''}} = 2 y_{H} - y_{M} \\ z_{M^{''}} = 2 z_{H} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{''}} = 2.1 - 1 \\ y_{M^{''}} = 2.2 - 2 \\ z_{M^{''}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{M^{''}} = 1 \\ y_{M^{''}} = 2 \\ z_{M^{''}} = - 3 \end{cases}$

Vậy M"(1; 2; −3).

+) Vì K $\in$ Oy nên K(0; y; 0) $\Rightarrow \vec{M K} = (- 1; y - 2; - 3)$

Vì $M K ⊥ O y$ nên $\vec{H K} . \vec{j} = 0$ $\Leftrightarrow y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2$ . Do đó K(0; 2; 0).

Vì K là trung điểm của MM"' nên

$\{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = 2 x_{K} - x_{M} \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 y_{K} - y_{M} \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2 z_{K} - z_{M} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2.2 - 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = 2.0 - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{{M^{''}}^{'}} = - 1 \\ y_{{M^{''}}^{'}} = 2 \\ z_{{M^{''}}^{'}} = - 3 \end{cases}$