HĐ10 trang 38 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

HĐ10 trang 38 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

Quảng cáo

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\vec{M N} = k \vec{n}$ . Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $|\vec{M N}| = |k| |\vec{n}|$ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

HĐ10 trang 38 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $M N ⊥ (P)$

Do đó $\vec{M N}$ sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$

Vậy tồn tại một số k sao cho $\vec{M N} = k \vec{n}$

Giả sử N(x₁; y₁; z₁). Suy ra $\vec{M N} = (x_{1} - x_{0}; y_{1} - y_{0}; z_{1} - z_{0})$

Vì $\vec{M N} = k \vec{n}$ nên $\{\begin{cases} x_{1} - x_{0} = k A \\ y_{1} - y_{0} = k B \\ z_{1} - z_{0} = k C \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = x_{0} + k A \\ y_{1} = y_{0} + k B \\ z_{1} = z_{0} + k C \end{cases}$

b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được

A(x₀ + kA) + B(y₀ + kB) + C(z₀ + kC) + D = 0

⇔ k(A² + B² + C²) + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

$\Leftrightarrow k = \frac{- A x_{0} - B y_{0} - C z_{0} - D}{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$

c) Ta có $|\vec{M N}| = |k| |\vec{n}|$ $\Leftrightarrow |\vec{M N}| = |k| \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$

Mà $k = \frac{- A x_{0} - B y_{0} - C z_{0} - D}{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$ nên $M N = |\frac{- A x_{0} - B y_{0} - C z_{0} - D}{A^{2} + B^{2} + C^{2}}| \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$