Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Voucher giảm giá Shopee dịp 25-09

Giải Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian - Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\vec{A S} \cdot \vec{B D}$ và $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ .

Quảng cáo

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 12

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Gọi E là trung điểm của SC. Suy ra OE là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra $O E = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}$ và OE // SA.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $B D = a \sqrt{2}$ mà O là trung điểm của BD nên $O B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì ∆SBC đều cạnh a nên BE là đường cao. Suy ra $B E = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì $O E^{2} + O B^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} = B E^{2}$ .

Do đó ∆BOE vuông tại O. Do đó $\vec{O E} ⊥ \vec{O B}$ .

Vì OE // SA và $O E = \frac{1}{2} S A$ nên $\vec{A S} = 2 \vec{O E}$ .

Vì O là trung điểm của BD nên $\vec{B D} = - 2 \vec{O B}$ .

Khi đó $\vec{A S} \cdot \vec{B D} = 2 \vec{O E} . (- 2 \vec{O B}) = 0$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{C D} = \vec{B A}$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ $= \vec{A S} \cdot \vec{B A} = - \vec{A S} \cdot \vec{A B} = - |\vec{A S}| \cdot |\vec{A B}| \cdot \cos \hat{S A B}$ .

Vì ∆SAB đều nên $\hat{S A B} = 60 °$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D} = - a \cdot a \cdot \cos 60 ° = - \frac{a^{2}}{2}$ .

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official