Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian - Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Gọi E là trung điểm của SC. Suy ra OE là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra $OE=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$ và OE // SA.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $BD=a\sqrt{2}$  mà O là trung điểm của BD nên $OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì ∆SBC đều cạnh a nên BE là đường cao. Suy ra $BE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì $O{E}^2+O{B}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}=B{E}^2$ .

Do đó ∆BOE vuông tại O. Do đó $\overrightarrow{OE}\perp \overrightarrow{OB}$.

Vì OE // SA và $OE=\frac{1}{2}SA$ nên $\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{OE}$.

Vì O là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{OB}$ .

Khi đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OE}.\left(-2\overrightarrow{OB}\right)=0$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$.

Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$ $=\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=-\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \cos \widehat{SAB}$.

Vì ∆SAB đều nên $\widehat{SAB}=60°$.

Do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}=-a\cdot a\cdot \cos 60°=-\frac{a^2}{2}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 45 Toán 12 Tập 1: Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại ....

• HĐ1 trang 46 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các ....

• Câu hỏi trang 46 Toán 12 Tập 1: Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian ....

• Luyện tập 1 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ ....

• HĐ2 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7). a) So sánh độ dài của hai vectơ ....

• Câu hỏi trang 47 Toán 12 Tập 1: Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không? ....

• Luyện tập 2 trang 48 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. a) Trong ba vectơ ....

• Vận dụng 1 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 ....

• HĐ3 trang 49 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ ....

• Luyện tập 3 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của ....

• Luyện tập 4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng ....

• HĐ4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.14). a) Hai vectơ AB + AD và AC có bằng nhau hay không? ....

• Câu hỏi trang 50 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B ....

• Luyện tập 5 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh vecto BB'+ CD + AD = BD' ....

• HĐ5 trang 51 Toán 12 Tập 1: Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng ....

• Luyện tập 6 trang 52 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là ....

• Vận dụng 2 trang 52 Toán 12 Tập 1: Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn ....

• HĐ6 trang 52 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17) ....

• Câu hỏi trang 53 Toán 12 Tập 1: Hai vectơ $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ (−1)a và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không? ....

• Luyện tập 7 trang 53 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc ....

• Luyện tập 8 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD (H.2.19). Gọi I là ....

• Vận dụng 3 trang 54 Toán 12 Tập 1: Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của ....

• HĐ7 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ a,b khác 0 . Lấy điểm O và vẽ các vectơ OA = a ,OB = b ....

• Câu hỏi trang 55 Toán 12 Tập 1: Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\overrightarrow{0}$), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian ....

• Luyện tập 9 trang 56 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' (H.2.25). Tính các góc ....

• HĐ8 trang 56 Toán 12 Tập 1: Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng ....

• Luyện tập 11 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng vectơ A'C . B'D =0 ....

• Vận dụng 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Như đã biết, nếu có một lực $\overrightarrow{F}$ tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển ....

• Bài 2.1 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho ba vectơ a, b, c phân biệt và đều khác 0 . Những mệnh đề nào sau đây là đúng? ....

• Bài 2.2 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2, AD = 3 và AA' = 4. Tính độ dài của các vectơ ....

• Bài 2.3 trang 58 Toán 12 Tập 1: Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt ....

• Bài 2.4 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: ....

• Bài 2.5 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có vectơ AA'=a AB = b và AC = c. Hãy biểu diễn các vectơ sau ....

• Bài 2.6 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu ....

• Bài 2.7 trang 58 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N ....

• Bài 2.8 trang 58 Toán 12 Tập 1: Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn ....

• Bài 2.9 trang 59 Toán 12 Tập 1: Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng ....

• Bài 2.10 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh ....

• Bài 2.11 trang 59 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho hai vectơ a và b cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ....

• Bài 2.12 trang 59 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

• Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---