Giải Toán 12 trang 62 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 62 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 5 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 62.

Giải Toán 12 trang 62 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 5.38 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 4. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là

A. I(1; 0; 3), R = 4.

B. I(1; 0; 3), R = 2.

C. I(−1; 0; 3), R = 2.

D. I(−1; 0; 3), R = 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 4 có tâm I(−1; 0; 3) và R = 2.

Bài 5.39 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; −2; −1), R = 3.

B. I(1; 2; 1), R = 9.

C. I(1; 2; 1), R = 3.

D. I(1; −2; −1), R = 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 có tâm I(1; −2; −1) và $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+3}=3$

Bài 5.40 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; −1), B(0; 1; 2), C(−1; −2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2;-2;4\right)$, $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(10;-2;4\right)$

a) Mặt phẳng (ABC) nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(5;-1;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 0; −1) có phương trình là:

5(x – 1) – y + 2(z + 1) = 0 hay 5x – y + 2z – 3 = 0.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 0; −1) và nhận $\overrightarrow{u}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-2\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: $x=\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}\right.$

c) Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó I(0; −1; 1).

Bán kính mặt cầu $R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+4^2}}{2}=\sqrt{6}$

Phương trình mặt cầu đường kính AC là: x² + (y + 1)² + (z – 1)² = 6.

Bài 5.41 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+t\\ z=4-2t\end{array}\right.$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A(1; −2; 4) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1;-2\right)$

Có $\overrightarrow{OA}=\left(1;-2;4\right)$, $\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{u}\right]=\left(0;6;3\right)$

Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{u}\right]=\left(0;2;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2y + z = 0.

Bài 5.42 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 1; 0).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.\left(-1\right)+2.2\right|}{\sqrt{1+{\left(-2\right)}^2+2^2}}=\frac{7}{3}$

b) Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (Q) là: x – 1 – 2(y + 1) + 2(z – 2) = 0 hay x – 2y + 2z – 7 = 0.

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-2;2;-2\right)$

Mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;2;2\right)$

Mặt phẳng (R) đi qua A(1; −1; 2) và nhận $\overrightarrow{n_R}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\right]=\left(0;1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: y + 1 + z – 2 = 0 hay y + z – 1 = 0.

Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, $d^{\text{'}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$

Đường thẳng d' đi qua điển N(−1; −2; 3) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(2;2;-1\right)$

Có $\overrightarrow{MN}=\left(-1;-3;3\right)$, $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-6;5;-2\right)\ne \overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{MN}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=6-15-6=-15\ne 0$

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2+2t\end{array}\right.$

c) Có $\overrightarrow{AM}=\left(-1;1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(6;0;-3\right)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(2;0;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – (z – 2) = 0 hay 2x – z = 0.

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: y = 0.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\\ y=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=0\\ z=-1\end{array}\right.$

Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};0;-1\right)$

Bài 5.44 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 và đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-1\right)$

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;-2\right)$

Có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; -1; 0) và nhận $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(-4;3;-5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: −4(x – 1) + 3(y + 1) −5z = 0 hay 4x – 3y + 5z – 7 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 61
• Giải Toán 12 trang 63

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

• Toán 12 Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

• Toán 12 Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---