Giải Toán 7 trang 120 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 7 trang 120 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 7 Toán 7 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 làm bài tập Toán 7 trang 120.

Giải Toán 7 trang 120 Tập 2 Cánh diều

Bài 8 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Chứng minh:

a) ∆OMA = ∆OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

OM chung.

OA = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OM\text{A}}=\widehat{OMB}$ (2 góc tương ứng).

Do đó MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ hay MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

b) Thực hiện nối OP.

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

OP chung.

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OP\text{A}}=\widehat{OPC}$ (2 góc tương ứng).

Do đó PO là tia phân giác của $\widehat{CPA}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{NPM}$.

Trong tam giác NMP có O là giao điểm hai đường phân giác của góc M và góc P.

Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

Gọi K là trung điểm của BC.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng (1).

Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét ∆AKB và ∆AKC có:

AK chung.

BK = CK (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ∆AKB = ∆AKC (c - c - c).

Suy ra $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}$, mà $\widehat{AKB}+\widehat{AKC}=180°$ nên $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90°$.

Do đó AK ⊥ BC.

H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Ta có AK ⊥ BC và AH ⊥ BC nên A, H, K thẳng hàng (2).

O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OKB và ∆OKC có:

OK chung.

OB = OC (chứng minh trên).

BK = CK (chứng minh trên).

Do đó ∆OKB = ∆OKC (c - c - c).

Suy ra $\widehat{OKB}=\widehat{OKC}$, mà $\widehat{OKB}+\widehat{OKC}=180°$ nên $\widehat{OKB}=\widehat{OKC}=90°$.

Do đó OK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, O, K thẳng hàng (3).

Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBK}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICK}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{IBK}=\widehat{ICK}$.

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ∆IBK và ∆ICK có:

IB = IC (chứng minh trên).

$\widehat{IBK}=\widehat{ICK}$ (chứng minh trên).

BK = CK (chứng minh trên).

Do đó ∆IBK = ∆ICK (c - g - c).

Suy ra $\widehat{IKB}=\widehat{IKC}$, mà $\widehat{IKB}+\widehat{IKC}=180°$ nên $\widehat{IKB}=\widehat{IKC}=90°$.

Do đó IK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

Gọi K là chân đường cao kẻ từ H vuông BC.

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên AK là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{K\text{A}B}=\widehat{K\text{A}C}$.

Xét ∆AKB vuông tại K và ∆AKC vuông tại K có:

$\widehat{K\text{A}B}=\widehat{K\text{A}C}$ (chứng minh trên).

AK chung.

Do đó ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Lời giải:

Theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại một điểm.

Điểm đó chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Bài 11 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có $\hat{M}=40°,\hat{N}=70°.$ Khi đó $\hat{P}$ bằng

A. 10^o.

B. 55^o.

C. 70^o.

D. 110^o.

Lời giải:

Đáp án đúng: C.

Trong tam giác MNP có:

$\hat{P}=180°-\hat{M}-\hat{N}=$180° - 40° - 70° = 70°.

Bài 12 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN.

B. Góc NMP.

C. Góc MPN.

D. Góc NHP.

Lời giải:

Đáp án đúng: A.

Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến MN, NP.

Xét tam giác MDH vuông tại D: $\widehat{HM\text{D}}+\widehat{MH\text{D}}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Suy ra $\widehat{HM\text{D}}=90°-\widehat{MH\text{D}}$.

Xét tam giác PEH vuông tại D: $\widehat{HPE}+\widehat{PHE}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90^o).

Suy ra $\widehat{HPE}=90°-\widehat{PHE}$.

Mà $\widehat{MHD}=\widehat{PHE}$ nên $\widehat{HM\text{D}}=\widehat{HPE}$ hay $\widehat{HMN}=\widehat{HPN}$.

Bài 13 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng: B.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MNP ta có:

NP - MN < MP < NP + MN hay 1 < x < 3.

Mà x ∈ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.

Bài 14 trang 120 Toán lớp 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số $\frac{MG}{MI}$ bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng: C.

Do G là trọng tâm của tam giác MNP nên $\frac{MG}{MI}=\frac{2}{3}$.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

• Giải Toán 7 trang 119 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 7 Thực hành một số phần mềm

• Toán 7 Bài 1: Thu thập, phân loại và biểu diễn dữ liệu

• Toán 7 Bài 2: Phân tích và xử lí dữ liệu

• Toán 7 Bài 3: Biểu đồ đoạn thẳng

• Toán 7 Bài 4: Biểu đồ hình quạt tròn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---