Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng lớp 10 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lý thuyết tổng hợp chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ và giá của song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTCP = (a; b)

=> phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP = (a; b)

thì có hệ số góc k =

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ≠ và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Nhận xét.

+) Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTPT = (A; B)

=> phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax₀ – By₀.

Nhận xét.

+) Nếu đường thẳng ∆ có VTPT = (A; B) thì có hệ số góc k =

+) Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; 0) và N(0; b0).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình:

+) Nếu hệ có một nghiệm (x₀; y₀) thì ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm M₀(x₀, y₀).

+) Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆₁ trùng với ∆₂.

+) Nếu hệ vô nghiệm thì ∆₁ và ∆₂ không có điểm chung, hay ∆₁ song song với ∆₂

Cách 2. Xét tỉ số

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có VTPT = (a₁; b₁);

∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có VTPT = (a₂; b₂);

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂

Khi đó

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M₀(x₀, y₀) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(–2; 3) và có VTCP $\overrightarrow{u}(1;-4)$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d) đi qua M(–2; 3) và có VTCP $\overrightarrow{u}(1;-4)$ nên có phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3-4t\end{array}\right.$.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua A(–3; 0) và có VTPT $\overrightarrow{n}(2;-3)$ nên VTCP $\overrightarrow{u}(3;2)$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=-3+3t\\ y=2t\end{array}\right.$.

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|5.2-3.3-2\right|}{\sqrt{5^2+{(-3)}^2}}=\frac{\sqrt{34}}{34}$.

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5$ hay $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-5=0$.

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=5$ là:

d(O; d) = $\frac{\left|{\displaystyle \frac{0}{3}}+{\displaystyle \frac{0}{2}}-5\right|}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}$.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M(1; –3) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}(1;2)$ làm vectơ chỉ phương.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ đi qua M(1; –3) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}(1;2)$ làm vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của ∆: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}$.

Bài 2. Cho đường thẳng (d) : $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua A(3; 1) và có VTCP $\overrightarrow{u}(-1;2)$ nên VTCP $\overrightarrow{n}(2;1)$.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2(x – 3) + (y – 1) = 0 hay 2x + y – 7 = 0.

Bài 3. Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0 là:

d(O; d) = $\frac{\left|5.0+2.0-1\right|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{\sqrt{29}}{29}$.

Bài 4. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0 là:

d(A; d) = $\frac{\left|2.(-5)-1.2+5\right|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$.

Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}.

Hướng dẫn giải:

Xét đường thẳng d: {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}

2x + 3y = 2(2 + 3t) + 3(5 – 2t) = 4 + 6t + 15 – 6t = 19

⇔ 2x + 3y -19 = 0

Khoảng cách từ điểm B(3; –5) đến đường thẳng d: 2x + 3y – 19 = 0 là:

d(B; d) = $\frac{\left|2.3+3.(-5)-19\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{28\sqrt{13}}{13}$.

Bài 6. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; – 1) và B(–3; 4).

Bài 7. Cho đường thẳng d: {x = 3 + 2t; y = 4 + 3t}. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Bài 8. Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.

Bài 9. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a): 3x – 2y + 1 = 0 và (b) : 4x + 3y – 3 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng a: 2x – 3y + 2 = 0 và b: 4x + 3y – 3 = 0. Tính diện tích của hình chữ nhật.

Bài 10. Đường tròn (C) có tâm I (–2; –2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Tính bán kính R của đường tròn (C).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Lý thuyết Phương trình đường thẳng
• Lý thuyết Phương trình đường tròn
• Lý thuyết Phương trình đường elip

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---