Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

1. Phương pháp giải.

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:

TH 1: a > 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

TH 2: a < 0:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 - 3 = 0, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 và P = 5(x1 + x2 ) - 2x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m + 3)2 - (m2 - 3) = 6m + 12

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Theo định lý Viét ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

P = 5(x1 + x2) - 2x1x2 = -10(m + 3) - 2(m2 - 3) = -2m2 - 10m - 24.

Xét hàm số f(m) = -2m2 - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)

Bảng biến thiên

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy raToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánkhi và chỉ khi m = -2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi đó hàm số trở thành y = t2 - 3t + 1 với t ≥ 1

Bảng biến thiên

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t2 - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta có P = t2 - 2 - t + 1 = t2 - t - 1

Xét hàm số f(t) = t2 - t - 1 với t ∈ (-∞;-2] ∪ [2; +∞)

Bảng biến thiên

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Từ bảng biến thiên ta có:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ham-so-bac-nhat-va-bac-hai.jsp