Cách xác định Hàm số bậc hai (hay, chi tiết)

Bài viết Cách xác định Hàm số bậc hai với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định Hàm số bậc hai.

Cách xác định Hàm số bậc hai hay, chi tiết

1. Phương pháp giải.

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là y = ax² + bx + c, a ≠ 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Xác định parabol (P) : y = ax² + bx + c, a ≠ 0, biết:

a) (P) đi qua A (2; 3) và có đỉnh I (1; 2)

b) c = 2 và (P) đi qua B (3; -4) và có trục đối xứng là x = (-3)/2.

c) Hàm số y = ax² + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng 3/4 khi x = 1/2 và nhận giá trị bằng 1 khi x = 1.

d) (P) đi qua M (4; 3) cắt Ox tại N (3; 0) và P sao cho ΔINP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3. (I là đỉnh của (P)).

Hướng dẫn:

a) Vì A ∈ (P) nên 3 = 4a + 2b + c

Mặt khác (P) có đỉnh I(1;2) nên:

(-b)/(2a) = 1 ⇔ 2a + b = 0

Lại có I ∈ (P) suy ra a + b + c = 2

Ta có hệ phương trình:

Vậy (P) cần tìm là y = x² - 2x + 3.

b) Ta có c = 2 và (P) đi qua B(3; -4) nên -4 = 9a + 3b + 2 ⇔ 3a + b = -2

(P) có trục đối xứng là x = (-3)/2 nên (-b)/(2a) = -3/2 ⇔ b = 3a

Ta có hệ phương trình:

Vậy (P) cần tìm là y = (-1)x²/3 - x + 2.

c) Hàm số y = ax² + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng 3/4 khi x = 1/2 nên ta có:

Hàm số y = ax² + bx + c nhận giá trị bằng 1 khi x = 1 nên a + b + c = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy (P) cần tìm là y = x² - x + 1.

d) Vì (P) đi qua M (4; 3) nên 3 = 16a + 4b + c (1)

Mặt khác (P) cắt Ox tại N (3; 0) suy ra 0 = 9a + 3b + c (2)

Từ (1) và (2) ta có: 7a + b = 3 ⇒ b = 3 - 7a

(P) cắt Ox tại P nên P (t; 0) (t < 3) ⇒ NP = 3 - t

Theo định lý Viét ta có

Ta có:

Thay (*) vào (**) ta được:

(3 - t)³ = 8(4-t)/3 ⇔ 3t³ - 27t² + 73t - 49 = 0 ⇔ t = 1

Suy ra a = 1; b = - 4; c = 3.

Vậy (P) cần tìm là y = x² - 4x + 3.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Xác định parabol (P): y = ax² + c, a ≠ 0, biết (P) đi qua điểm A(2; 3) và có giá trị nhỏ nhất là –2.

Hướng dẫn giải:

Ta có: y = $a{x}^2+c\ge c$ khi a = 0.

Do đó giá trị nhỏ nhất của (P) là c = -2.

Ta có (P) đi qua điểm A(2; 3) nên ta có a.2² – 2 = 3 hay a = $\frac{5}{4}$.

Do đó ta xác định được parabol (P): y = $\frac{5}{4}{x}^2-2$.

Bài 2. Xác định parabol (P): y = ax² + bx – 1, a ≠ 0, biết (P) đi qua hai điểm A(1; 2) và B(–1; 3).

Hướng dẫn giải:

Vì (P) đi qua hai điểm A(1; 2) và B(–1; 3) nên ta có

$\left\{\begin{array}{l}a.1^2+b.1-1=2\\ a.{(-1)}^2+b.(-1)-1=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ a-b=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right..$

Vậy ta xác định được parabol (P): y = $\frac{7}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-1$.

Bài 3. Xác định parabol (P): y = ax² + bx + c, a ≠ 0, biết (P) đi qua A (1; 3) và có đỉnh I(2; 5).

Hướng dẫn giải:

Vì A ∈ (P) nên a.1² + b.1 + c = 3 hay a + b + c = 3.

Mặt khác (P) có đỉnh I(2; 5) nên:

$\frac{-b}{2a}=2$ suy ra 4a + b = 0.

Lại có I ∈ (P) suy ra a.2² + b.2 + c = 5 hay 4a + 2b + c = 5.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=3\\ 4a+2b=0\\ 4a+2b+c=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{-7}{5}\\ b=\frac{24}{5}\\ c=\frac{-2}{5}\end{array}\right.$

Vậy ta xác định được parabol (P): y = $-\frac{7}{5}{x}^2+\frac{24}{5}x-\frac{2}{5}$.

Bài 4. Xác định parabol (P): y = ax² + c, a ≠ 0, biết (P) cắt trục hoành tại điểm A(0; 2) và cắt trục tung tại điểm B(–1; 0).

Hướng dẫn giải:

(P) đi qua hai điểm A(0; 2) và B(–1; 0) nên ta có

$\left\{\begin{array}{l}a.0^2+c=2\\ a.{(-1)}^2+c=0\end{array}\right.$nên $\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a+c=0\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a=-2\end{array}\right.$.

Vậy ta xác định được parabol (P): y = 2x² - 2.

Bài 5. Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3, a ≠ 0, biết (P) đi qua B(2; –7) và có trục đối xứng là x = 5.

Hướng dẫn giải:

Vì B ∈ (P) nên a.2² + b.2 + 3 = –7 hay 4a + 2b = –10.

Mặt khác (P) có trục đối xứng là x = 5 nên:

$\frac{-b}{2a}=5$ nên 10a + b = 0.

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}4a+2b=10\\ 10a+b=0\end{array}\right.$nên $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{-5}{8}\\ b=\frac{25}{4}\end{array}\right.$.

Vậy ta xác định được parabol (P): y = $-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{25}{4}x+3$.

Bài 6. Xác định parabol (P): y = ax² + c, a ≠ 0, biết (P) đi qua điểm A(1; 7) và có giá trị nhỏ nhất là –3.

Bài 7. Xác định parabol (P): y = ax² + bx – 1, a ≠ 0, biết (P) đi qua hai điểm A(2; 8) và B(–5; 3).

Bài 8. Xác định parabol (P): y = ax² + bx + c, a ≠ 0, biết (P) đi qua A(–2; 5) và có đỉnh I(3; 9).

Bài 9. Xác định parabol (P): y = ax² + c, a ≠ 0, biết (P) cắt trục hoành tại điểm A(0; 5) và cắt trục tung tại điểm B(–6; 0).

Bài 10. Xác định parabol (P): y = ax² + bx + 3, a ≠ 0, biết (P) đi qua B(1; 6) và có trục đối xứng là x = 3.

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---